📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 제곱근과 제곱의 관계에 대한 여러 표현들의 값을 계산하고, 그중에서 다른 값을 가지는 하나를 찾는 문제입니다. 제곱근의 기본 성질, 특히 제곱이 근호 안쪽에 있는지 바깥쪽에 있는지에 따라 계산 결과가 어떻게 달라지는지를 정확히 이해하는 것이 중요합니다.
- 각 보기 계산: 주어진 5개의 보기를 각각 계산합니다.
- 핵심 성질 적용: 다음 두 가지 주요 성질을 정확히 적용합니다.
- \( (\sqrt{a})^2 = a \) (단, \(a \ge 0\)) : 제곱근을 먼저 구하고 그 결과를 제곱하면 원래 수가 됩니다.
- \( \sqrt{a^2} = |a| \) : 어떤 수를 제곱한 후 그 제곱근을 구하면 원래 수의 절댓값이 됩니다. 즉, 결과는 항상 0 이상입니다.
- 음수 처리 주의: 괄호 안이나 근호 안의 음수가 제곱될 때 부호가 어떻게 변하는지 주의합니다. (\((-a)^2 = a^2\))
- 값 비교: 계산된 5개의 값을 비교하여 다른 값을 갖는 보기를 찾습니다.
핵심 공식 및 성질:
- \( (\sqrt{a})^2 = a \) (단, \(a \ge 0\))
- \( \sqrt{a^2} = |a| = \begin{cases} a & (a \ge 0) \\ -a & (a < 0) \end{cases} \)
- \( (-a)^2 = a^2 \)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 보기 ① 값 계산
보기 ①은 \( (\sqrt{7})^2 \) 입니다.
성질 \( (\sqrt{a})^2 = a \) (여기서 \(a=7\))를 적용합니다.
$$ (\sqrt{7})^2 = 7 $$
Step 2: 보기 ② 값 계산
보기 ②는 \( \sqrt{7^2} \) 입니다.
성질 \( \sqrt{a^2} = |a| \) (여기서 \(a=7\))를 적용합니다.
$$ \sqrt{7^2} = |7| = 7 $$
(또는 \( \sqrt{7^2} = \sqrt{49} = 7 \) 로 계산할 수도 있습니다.)
Step 3: 보기 ③ 값 계산
보기 ③은 \( \sqrt{(-7)^2} \) 입니다.
성질 \( \sqrt{a^2} = |a| \) (여기서 \(a=-7\))를 적용합니다.
$$ \sqrt{(-7)^2} = |-7| = 7 $$
(또는 \( \sqrt{(-7)^2} = \sqrt{49} = 7 \) 로 계산할 수도 있습니다. 근호 안의 제곱을 먼저 계산합니다.)
Step 4: 보기 ④ 값 계산
보기 ④는 \( (-\sqrt{7})^2 \) 입니다.
제곱은 괄호 전체에 적용됩니다. \( (-\sqrt{7}) \times (-\sqrt{7}) = (\sqrt{7})^2 \) 입니다.
성질 \( (\sqrt{a})^2 = a \) (여기서 \(a=7\))를 적용합니다.
$$ (-\sqrt{7})^2 = (\sqrt{7})^2 = 7 $$
Step 5: 보기 ⑤ 값 계산
보기 ⑤는 \( -\sqrt{(-7)^2} \) 입니다.
먼저 근호 안의 \( (-7)^2 \) 를 계산하면 \( (-7)^2 = 49 \) 입니다. 또는 성질 \( \sqrt{a^2} = |a| \) 를 이용하면 \( \sqrt{(-7)^2} = |-7| = 7 \) 입니다.
따라서 식은 \( -\sqrt{49} \) 또는 \( -(|-7|) \) 이 됩니다.
$$ -\sqrt{(-7)^2} = -\sqrt{49} = -7 $$
또는
$$ -\sqrt{(-7)^2} = -(|-7|) = -(7) = -7 $$
Step 6: 값 비교 및 결론
각 보기의 값을 비교합니다.
- 보기 ①: 7
- 보기 ②: 7
- 보기 ③: 7
- 보기 ④: 7
- 보기 ⑤: -7
보기 ①, ②, ③, ④의 값은 모두 7로 동일하지만, 보기 ⑤의 값은 -7입니다.
따라서 값이 나머지 넷과 다른 하나는 보기 ⑤입니다.
🧠 마무리 개념 정리
제곱근과 제곱이 포함된 식을 계산할 때는 다음 사항을 특히 주의해야 합니다.
- 제곱의 위치: 제곱이 근호 밖(\((\sqrt{a})^2\))에 있는지 안(\(\sqrt{a^2}\))에 있는지에 따라 적용되는 성질이 다릅니다.
- \( (\sqrt{a})^2 = a \) (단, \(a \ge 0\))
- \( \sqrt{a^2} = |a| \) (결과는 항상 0 이상)
- 절댓값의 의미: \( \sqrt{a^2} = |a| \) 에서 절댓값은 결과가 항상 음수가 아님을 보장합니다. \(a\)가 음수일 경우 \(|a| = -a\) (양수)가 됩니다.
- 괄호와 부호: 괄호의 위치와 마이너스 부호가 식 전체에 미치는 영향을 정확히 파악해야 합니다. \( (-\sqrt{a})^2 \) 는 \( (\sqrt{a})^2 \) 과 같지만, \( -\sqrt{a^2} \) 는 \( -|a| \) 와 같습니다.
이 문제에서는 \( \sqrt{a^2} = |a| \) 성질과 괄호 바깥의 마이너스 부호를 정확히 처리하는 것이 핵심입니다.
✅ 최종 정답
보기 ①, ②, ③, ④의 값은 모두 7이고, 보기 ⑤의 값은 -7입니다.
따라서 정답은 ⑤번입니다.