📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 주어진 여러 실수(정수, 소수, 무리수 포함)들을 크기가 큰 것부터 작은 것 순서대로 나열하는 문제입니다. 여러 형태의 수를 비교하기 위한 전략은 다음과 같습니다.
- 수 분류: 주어진 수들을 양수, 0, 음수로 분류합니다. 양수는 0보다 크고, 음수는 0보다 작으므로, 이 분류만으로도 대략적인 순서를 알 수 있습니다.
- 양수 비교: 양수들을 비교할 때는 모든 수를 제곱하거나, 정수/소수를 \(\sqrt{A}\) 형태로 바꾸어 비교하는 것이 편리합니다. \(a > b > 0\) 이면 \(a^2 > b^2\) 이고, \(\sqrt{a} > \sqrt{b}\) 입니다.
- 음수 비교: 음수들을 비교할 때는 각 수의 절댓값을 비교합니다. 절댓값이 큰 음수가 더 작습니다. 즉, \(a > b > 0\) 이면 \(-a < -b\) 입니다. 또는 음수도 \(-\sqrt{A}\) 형태로 바꾸어 비교할 수 있습니다.
- 최종 나열: 양수 그룹(큰 순서대로), 0, 음수 그룹(큰 순서대로) 순으로 전체 수를 나열합니다.
핵심 개념: 실수의 대소 관계
- 양수 > 0 > 음수
- 양수 비교: \(a > b > 0 \iff a^2 > b^2 \iff \sqrt{a} > \sqrt{b}\)
- 음수 비교: \(a > b > 0 \implies -a < -b\). (절댓값이 클수록 작다)
- 유리수/정수를 제곱근 형태로 변환: \(a \ge 0\) 이면 \(a = \sqrt{a^2}\), \(a < 0\) 이면 \(a = -\sqrt{a^2}\).
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 주어진 수 분류
주어진 수는 \( \sqrt{3}, -\sqrt{5}, -2, 0, \sqrt{2}, 1.2 \) 입니다.
- 양수: \( \sqrt{3}, \sqrt{2}, 1.2 \)
- 0: \( 0 \)
- 음수: \( -\sqrt{5}, -2 \)
Step 2: 양수 그룹 대소 비교
양수는 \( \sqrt{3}, \sqrt{2}, 1.2 \) 입니다. 이들을 비교하기 위해 1.2를 제곱근 형태로 바꾸거나 모든 수를 제곱하여 비교합니다.
1.2를 제곱근 형태로 바꾸면: \( 1.2 = \sqrt{1.2^2} = \sqrt{1.44} \)
이제 \( \sqrt{3}, \sqrt{2}, \sqrt{1.44} \) 를 비교합니다.
근호 안의 수를 비교하면 \( 3 > 2 > 1.44 \) 입니다.
따라서 양수 그룹의 대소 관계는 \( \sqrt{3} > \sqrt{2} > \sqrt{1.44} \), 즉 \( \sqrt{3} > \sqrt{2} > 1.2 \) 입니다.
(다른 방법: 제곱하여 비교 \( (\sqrt{3})^2 = 3 \), \( (\sqrt{2})^2 = 2 \), \( (1.2)^2 = 1.44 \). \( 3 > 2 > 1.44 \) 이므로 \( \sqrt{3} > \sqrt{2} > 1.2 \).)
Step 3: 음수 그룹 대소 비교
음수는 \( -\sqrt{5}, -2 \) 입니다. 이들을 비교하기 위해 -2를 \(-\sqrt{A}\) 형태로 바꿉니다.
\( -2 = -\sqrt{2^2} = -\sqrt{4} \)
이제 \( -\sqrt{5} \) 와 \( -\sqrt{4} \) 를 비교합니다.
양수 부분만 비교하면 \( \sqrt{5} > \sqrt{4} \) (왜냐하면 \( 5 > 4 \)) 입니다.
음수는 절댓값이 클수록 더 작으므로, \( -\sqrt{5} < -\sqrt{4} \) 입니다.
따라서 음수 그룹의 대소 관계는 \( -2 > -\sqrt{5} \) 입니다.
Step 4: 전체 수 나열
Step 1~3의 결과를 종합하여 모든 수를 큰 것부터 차례로 나열합니다.
양수 그룹 (큰 순) > 0 > 음수 그룹 (큰 순)
$$ \sqrt{3} > \sqrt{2} > 1.2 > 0 > -2 > -\sqrt{5} $$
🧠 마무리 개념 정리
다양한 형태의 실수(무리수, 정수, 소수)의 대소 관계를 비교하는 문제입니다.
- 기준점 설정: 양수, 0, 음수로 나누어 생각하면 비교가 수월해집니다.
- 형태 통일: 같은 그룹 내에서는 비교하기 쉬운 형태로 통일하는 것이 좋습니다.
- 양수 비교 시: 모든 수를 제곱하거나 \(\sqrt{A}\) 형태로 통일하여 근호 안의 값을 비교합니다.
- 음수 비교 시: 절댓값(양수 부분)을 비교하여 절댓값이 큰 수가 더 작다고 판단하거나, \(-\sqrt{A}\) 형태로 통일하여 근호 안의 값을 비교합니다 (근호 안의 값이 클수록 음수는 더 작아짐).
- 수직선 활용: 수직선 상에서 각 수의 위치를 대략적으로 파악하는 것도 대소 관계를 이해하는 데 도움이 됩니다. (오른쪽에 있을수록 큰 수)
정확한 비교를 위해 제곱근 형태나 제곱 값을 활용하는 방법을 익혀두는 것이 중요합니다.
✅ 최종 정답
주어진 수를 큰 것부터 차례로 나열하면 다음과 같습니다.
$$ \sqrt{3}, \sqrt{2}, 1.2, 0, -2, -\sqrt{5} $$