📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 주어진 \(x\)의 범위 조건(\(x < 4\)) 하에서, 제곱근과 제곱이 포함된 방정식 \( \sqrt{(3x - 12)^2} + \sqrt{(x - 5)^2} = 21 \) 을 만족시키는 \(x\)의 값을 구하는 문제입니다. 풀이 전략은 다음과 같습니다.
- 제곱근 성질 적용: \( \sqrt{k^2} = |k| \) 성질을 이용하여 주어진 방정식의 각 항을 절댓값 형태로 변환합니다.
- 절댓값 내부 부호 판단: 주어진 조건 \(x < 4\) 를 이용하여 각 절댓값 기호 안의 식(\(3x - 12\) 와 \(x - 5\))의 부호를 판단합니다.
- 절댓값 풀기: 판단된 부호에 따라 절댓값 기호를 제거합니다. (\(|k| = k\) if \(k \ge 0\), \(|k| = -k\) if \(k < 0\))
- 방정식 풀기: 절댓값을 풀어 얻어진 \(x\)에 대한 일차방정식을 풉니다.
- 해의 조건 확인: 구한 \(x\) 값이 처음 주어진 조건(\(x < 4\))을 만족하는지 확인합니다.
핵심 공식 및 성질:
- \( \sqrt{k^2} = |k| \)
- 절댓값의 정의: \( |k| = \begin{cases} k & (k \ge 0) \\ -k & (k < 0) \end{cases} \)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 제곱근 성질을 이용하여 절댓값으로 변환
주어진 방정식은 \( \sqrt{(3x – 12)^2} + \sqrt{(x – 5)^2} = 21 \) 입니다.
\( \sqrt{k^2} = |k| \) 성질을 각 항에 적용합니다.
$$ \sqrt{(3x – 12)^2} = |3x – 12| $$
$$ \sqrt{(x – 5)^2} = |x – 5| $$
따라서 방정식은 다음과 같이 변형됩니다.
$$ |3x – 12| + |x – 5| = 21 $$
Step 2: 절댓값 내부 식의 부호 판단 (조건 \(x < 4\) 활용)
주어진 조건 \(x < 4\) 를 이용하여 각 절댓값 안의 식의 부호를 판단합니다.
-
\(3x – 12\):
\(3x – 12 = 3(x – 4)\) 로 쓸 수 있습니다.
\(x < 4\) 이므로 \(x - 4 < 0\) 입니다.
따라서 양수 3과 음수 \(x-4\)의 곱인 \(3(x – 4)\)는 음수입니다.
$$ 3x – 12 < 0 $$
-
\(x – 5\):
\(x < 4\) 이고 \(4 < 5\) 이므로, \(x\)는 5보다 작습니다 (\(x < 5\)).
따라서 \(x – 5\)는 음수입니다.
$$ x – 5 < 0 $$
Step 3: 절댓값 풀기
Step 2에서 판단한 부호를 바탕으로 절댓값 기호를 제거합니다.
- \(|3x – 12|\): \(3x – 12\)가 음수이므로, \(|3x – 12| = -(3x – 12) = -3x + 12\).
- \(|x – 5|\): \(x – 5\)가 음수이므로, \(|x – 5| = -(x – 5) = -x + 5\).
Step 4: 방정식 풀기
Step 1에서 변형된 방정식 \( |3x – 12| + |x – 5| = 21 \) 에 Step 3의 결과를 대입합니다.
$$ (-3x + 12) + (-x + 5) = 21 $$
괄호를 풀고 동류항을 정리하여 \(x\)에 대한 일차방정식을 풉니다.
$$ -3x + 12 – x + 5 = 21 $$
$$ (-3x – x) + (12 + 5) = 21 $$
$$ -4x + 17 = 21 $$
상수항을 우변으로 이항합니다.
$$ -4x = 21 – 17 $$
$$ -4x = 4 $$
양변을 -4로 나눕니다.
$$ x = \frac{4}{-4} = -1 $$
Step 5: 해의 조건 확인
Step 4에서 구한 해는 \(x = -1\) 입니다.
이 해가 문제의 초기 조건인 \(x < 4\) 를 만족하는지 확인합니다.
\(-1\)은 4보다 작으므로 (\(-1 < 4\)), 조건을 만족합니다.
따라서 \(x = -1\)은 주어진 방정식의 해입니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 제곱근의 성질 \( \sqrt{k^2} = |k| \) 를 이용하여 식을 변형하고, 주어진 변수의 범위 조건을 활용하여 절댓값을 포함한 방정식을 푸는 문제입니다.
- 제곱근과 절댓값 변환: \( \sqrt{(\cdot)^2} \) 형태는 반드시 \( |(\cdot)| \) 형태로 바꿔야 합니다.
- 부호 판단의 중요성: 절댓값을 풀기 위해서는 절댓값 안의 식이 양수인지 음수인지 판단하는 것이 필수적입니다. 이때 문제에서 주어진 변수의 범위 조건이 결정적인 역할을 합니다.
- 절댓값 계산: 판단된 부호에 따라 절댓값 기호를 올바르게 제거합니다. (양수면 그대로, 음수면 마이너스 부호를 붙여서)
- 방정식 풀이 및 검증: 최종적으로 얻어진 방정식(주로 일차방정식)을 풀고, 구한 해가 처음 주어진 변수의 범위 조건을 만족하는지 반드시 확인해야 합니다.
제곱근과 절댓값 기호를 포함한 식을 다룰 때는 항상 부호 판단에 유의해야 합니다.
✅ 최종 정답
주어진 방정식을 만족시키는 \(x\)의 값은 \(-1\) 입니다.