📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 주어진 식 \( \sqrt{53 – 4x} \) 가 자연수가 되도록 하는 모든 자연수 \(x\) 값의 합을 구하는 문제입니다. 풀이 전략은 다음과 같습니다.
- 제곱근이 자연수가 될 조건: \( \sqrt{N} \) 이 자연수가 되려면, 근호 안의 수 \(N\)이 어떤 자연수의 제곱, 즉 완전제곱수여야 합니다. 따라서, \( 53 – 4x \) 가 완전제곱수가 되어야 합니다.
- \(x\) 및 \(53-4x\)의 범위 설정: \(x\)는 자연수이므로 \(x \ge 1\) 입니다. 따라서 \(4x \ge 4\) 이고 \(53 – 4x \le 53 – 4 = 49\) 입니다. 또한, \( \sqrt{53 – 4x} \) 가 자연수가 되려면 \( 53 – 4x \) 는 0보다 커야 합니다. 즉, \( 53 – 4x \) 는 1 이상 49 이하의 완전제곱수여야 합니다.
- 가능한 완전제곱수 찾기: 1 이상 49 이하의 완전제곱수를 모두 찾습니다.
- 방정식 풀기: \( 53 – 4x \) 가 각 완전제곱수가 되도록 하는 \(x\) 값을 각각 계산합니다. (\( 53 – 4x = n^2 \implies 4x = 53 – n^2 \implies x = \frac{53 – n^2}{4} \))
- 자연수 \(x\) 선별: 계산된 \(x\) 값 중에서 자연수인 것만 모두 찾습니다.
- 합 계산: 선별된 모든 자연수 \(x\) 값들의 합을 구합니다.
핵심 개념:
- \( \sqrt{N} \) 이 자연수 \(\iff\) \(N\)은 완전제곱수 (단, N > 0)
- 완전제곱수: 자연수를 제곱하여 얻어지는 수 (예: \(1^2=1, 2^2=4, …, 7^2=49, …\))
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 제곱근이 자연수가 될 조건 및 범위 설정
\( \sqrt{53 – 4x} \) 가 자연수가 되려면, 근호 안의 값 \( 53 – 4x \) 가 어떤 자연수 \(n\)의 제곱(\(n^2\))이어야 합니다.
$$ 53 – 4x = n^2 \quad (\text{단, } n\text{은 자연수}) $$
\(x\)는 자연수(\(x \ge 1\))이므로 \(4x \ge 4\), 따라서 \(53 – 4x \le 53 – 4 = 49\) 입니다.
또한 \(n^2 = 53 – 4x\) 는 자연수의 제곱이므로 0보다 커야 합니다.
결론적으로 \(n^2\)는 1 이상 49 이하의 완전제곱수입니다.
$$ 1 \le n^2 \le 49 $$
Step 2: 가능한 완전제곱수 \(n^2\) 찾기
1 이상 49 이하의 완전제곱수를 찾습니다.
- \( 1^2 = 1 \)
- \( 2^2 = 4 \)
- \( 3^2 = 9 \)
- \( 4^2 = 16 \)
- \( 5^2 = 25 \)
- \( 6^2 = 36 \)
- \( 7^2 = 49 \)
따라서 \( 53 – 4x \) 가 될 수 있는 값은 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 입니다.
Step 3: 각 경우에 대한 \(x\) 값 계산
\( 53 – 4x = n^2 \) 방정식을 각 \(n^2\) 값에 대해 풀어 \(x = \frac{53 – n^2}{4}\) 를 계산합니다.
- \( n^2 = 1 \) 일 때: \( 4x = 53 – 1 = 52 \implies x = \frac{52}{4} = 13 \)
- \( n^2 = 4 \) 일 때: \( 4x = 53 – 4 = 49 \implies x = \frac{49}{4} \)
- \( n^2 = 9 \) 일 때: \( 4x = 53 – 9 = 44 \implies x = \frac{44}{4} = 11 \)
- \( n^2 = 16 \) 일 때: \( 4x = 53 – 16 = 37 \implies x = \frac{37}{4} \)
- \( n^2 = 25 \) 일 때: \( 4x = 53 – 25 = 28 \implies x = \frac{28}{4} = 7 \)
- \( n^2 = 36 \) 일 때: \( 4x = 53 – 36 = 17 \implies x = \frac{17}{4} \)
- \( n^2 = 49 \) 일 때: \( 4x = 53 – 49 = 4 \implies x = \frac{4}{4} = 1 \)
Step 4: 자연수 \(x\) 값 선별
Step 3에서 계산된 \(x\) 값 중에서 자연수인 것만 고릅니다.
가능한 자연수 \(x\) 값은 13, 11, 7, 1 입니다.
Step 5: 모든 자연수 \(x\) 값의 합 계산
Step 4에서 찾은 모든 자연수 \(x\) 값들을 더합니다.
$$ \text{합} = 13 + 11 + 7 + 1 $$
$$ = 24 + 7 + 1 = 31 + 1 = 32 $$
(제공된 이미지의 해설 부분에는 합이 42로 잘못 계산되어 있으나, 실제 계산 결과는 32입니다.)
🧠 마무리 개념 정리
\( \sqrt{A – Bx} \) (또는 \( \sqrt{A + Bx} \) ) 형태의 식이 자연수가 되도록 하는 모든 자연수 \(x\)의 합을 구하는 문제는 다음 단계를 따릅니다.
- 근호 안의 식 \(A – Bx\) 가 완전제곱수(\(n^2\))가 되어야 함을 인지합니다.
- \(x\)가 자연수라는 조건으로부터 \(A – Bx\) 가 될 수 있는 완전제곱수 \(n^2\)의 범위를 설정합니다. (\(A – Bx < A\))
- 범위 내의 모든 가능한 완전제곱수 \(n^2\)를 찾습니다.
- \( A – Bx = n^2 \) 방정식을 풀어 각 \(n^2\)에 해당하는 \(x\) 값을 구합니다.
- 계산된 \(x\) 값 중 자연수인 것만 모두 선별합니다.
- 선별된 모든 자연수 \(x\) 값의 합을 구합니다.
완전제곱수를 체계적으로 찾고, 각 경우에 대해 \(x\)가 자연수가 되는지 확인하는 과정이 중요합니다.
✅ 최종 정답
\( \sqrt{53 – 4x} \) 가 자연수가 되도록 하는 모든 자연수 \(x\)는 1, 7, 11, 13 입니다. 이 값들의 합은 \(1 + 7 + 11 + 13 = 32\) 입니다.
따라서 정답은 ①번입니다.