📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 주어진 여러 실수(음수, 음의 제곱근 포함)들 중에서 가장 작은 수(\(a\))와 가장 큰 수(\(b\))를 찾은 다음, \(a^2 – b^2\)의 값을 구하는 문제입니다. 풀이 전략은 다음과 같습니다.
- 식 정리: 먼저 주어진 목록의 각 수를 간단한 형태로 정리합니다. 특히 \(-\sqrt{(-3)^2}\)와 같이 제곱과 제곱근이 섞인 항을 계산합니다.
- 모든 수가 음수임을 확인: 주어진 목록의 모든 수는 음수입니다.
- 음수의 대소 비교: 음수는 절댓값이 클수록 더 작습니다. 따라서 각 수의 절댓값(\( |-k| = k \))을 구하여 비교합니다. 절댓값이 가장 큰 수의 원래 음수가 가장 작은 수(\(a\))가 되고, 절댓값이 가장 작은 수의 원래 음수가 가장 큰 수(\(b\))가 됩니다.
- 절댓값 대소 비교: 절댓값들을 비교하기 위해 필요하면 정수나 분수를 \(\sqrt{A}\) 형태로 바꾸거나, 모든 수를 제곱하여 비교합니다. (\( k > 0 \)일 때 \(k = \sqrt{k^2}\))
- \(a\)와 \(b\) 확정: 대소 비교 결과를 바탕으로 가장 작은 수 \(a\)와 가장 큰 수 \(b\)를 확정합니다.
- \(a^2 – b^2\) 계산: 확정된 \(a\)와 \(b\)를 이용하여 \(a^2\)과 \(b^2\)를 계산하고, 최종적으로 \(a^2 – b^2\)를 구합니다.
핵심 개념:
- 음수의 대소 관계: \( A > B > 0 \) 이면 \( -A < -B < 0 \). (절댓값이 클수록 작다)
- 제곱근의 성질: \( \sqrt{k^2} = |k| \), \( (-\sqrt{k})^2 = k \) (단, \(k \ge 0\))
- 양수 비교: \( A > B > 0 \iff \sqrt{A} > \sqrt{B} \)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 주어진 수 목록 정리
주어진 수 목록은 \(-\sqrt{10}, -\sqrt{5}, -1, -\sqrt{\frac{12}{7}}, -\sqrt{(-3)^2}\) 입니다.
마지막 항을 계산합니다:
$$ -\sqrt{(-3)^2} = -\sqrt{9} $$
정수 \(-1\)을 제곱근 형태로 바꿉니다:
$$ -1 = -\sqrt{1^2} = -\sqrt{1} $$
따라서 비교해야 할 수 목록은 다음과 같습니다:
$$ -\sqrt{10}, -\sqrt{5}, -\sqrt{1}, -\sqrt{\frac{12}{7}}, -\sqrt{9} $$
모든 수는 음수입니다.
Step 2: 절댓값 비교 (근호 안의 값 비교)
각 수의 절댓값은 \( \sqrt{10}, \sqrt{5}, \sqrt{1}, \sqrt{\frac{12}{7}}, \sqrt{9} \) 입니다.
이 절댓값들의 크기를 비교하기 위해 근호 안의 수들을 비교합니다:
\( 10, 5, 1, \frac{12}{7}, 9 \)
\( \frac{12}{7} \) 는 \( 1 \) 보다는 크고 (\(12 > 7\)) \( 2 \) 보다는 작습니다 (\(12 < 14\)). 대략 \( \frac{12}{7} \approx 1.71 \).
근호 안의 수들을 크기 순서대로 나열하면:
$$ 1 < \frac{12}{7} < 5 < 9 < 10 $$
따라서 절댓값의 크기 순서는 다음과 같습니다:
$$ \sqrt{1} < \sqrt{\frac{12}{7}} < \sqrt{5} < \sqrt{9} < \sqrt{10} $$
Step 3: 음수 대소 비교 및 \(a, b\) 확정
음수는 절댓값이 클수록 작으므로, Step 2의 순서를 반대로 하면 원래 음수들의 대소 관계가 됩니다.
$$ -\sqrt{10} < -\sqrt{9} < -\sqrt{5} < -\sqrt{\frac{12}{7}} < -\sqrt{1} $$
따라서,
- 가장 작은 수: \( a = -\sqrt{10} \)
- 가장 큰 수: \( b = -\sqrt{1} = -1 \)
(해설 이미지에는 \(b=-10\)으로 오타가 있으나, 대소 관계 및 최종 계산은 \(b=-1\)을 기준으로 올바르게 진행되었습니다.)
Step 4: \(a^2\) 및 \(b^2\) 계산
\(a = -\sqrt{10}\) 이므로,
$$ a^2 = (-\sqrt{10})^2 = 10 $$
\(b = -1\) 이므로,
$$ b^2 = (-1)^2 = 1 $$
Step 5: \(a^2 – b^2\) 값 계산
Step 4에서 구한 \(a^2\)과 \(b^2\) 값을 이용하여 \(a^2 – b^2\)를 계산합니다.
$$ a^2 – b^2 = 10 – 1 = 9 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 여러 실수, 특히 음의 제곱근들의 대소 관계를 비교하고, 이를 이용하여 식의 값을 계산하는 능력을 평가합니다.
- 음수 대소 비교: 음수는 절댓값이 클수록 더 작다는 점을 명확히 이해해야 합니다. 수직선에서 왼쪽에 있을수록 작습니다.
- 제곱근 값 정리: \( \sqrt{(-k)^2} = \sqrt{k^2} = |k| \) 와 같이 제곱근 안의 제곱을 먼저 처리하여 식을 간단히 하는 것이 중요합니다.
- 형태 통일: 대소 비교를 쉽게 하기 위해 모든 수를 \(-\sqrt{A}\) 형태로 통일하고, 근호 안의 양수 \(A\) 값들을 비교하는 것이 효과적입니다.
- 제곱 계산: \( (-\sqrt{k})^2 = k \) (단, \(k \ge 0\)) 와 같이 음의 제곱근을 제곱하면 근호 안의 양수가 된다는 점을 정확히 계산해야 합니다.
각 수를 정확히 계산하고 음수의 대소 관계 규칙을 올바르게 적용하는 것이 핵심입니다.
✅ 최종 정답
가장 작은 수 \(a = -\sqrt{10}\), 가장 큰 수 \(b = -1\) 이므로, \(a^2 – b^2 = (-\sqrt{10})^2 – (-1)^2 = 10 – 1 = 9\) 입니다.
따라서 정답은 9 입니다.