📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 주어진 부등식 \( 8 < \sqrt{6n} < 9 \) 를 만족시키는 자연수 \(n\)의 개수를 구하는 문제입니다. 부등식에 제곱근이 포함되어 있으므로, 부등식의 성질을 이용하여 \(n\)의 범위를 찾는 전략을 사용합니다.
- 부등식 변형 목표: 부등식에서 \(\sqrt{6n}\) 대신 \(n\)의 범위를 구하는 것을 목표로 합니다.
- 제곱 이용: 부등식의 모든 변(\(8, \sqrt{6n}, 9\))이 양수이므로, 각 변을 제곱해도 부등호의 방향이 유지됩니다. 이 성질을 이용하여 \(\sqrt{6n}\)을 \(6n\)으로 만듭니다.
- \(n\)의 범위 계산: 각 변을 제곱하여 얻어진 부등식(\(8^2 < 6n < 9^2\))을 \(n\)에 대해 풉니다. 즉, 부등식의 각 변을 6으로 나눕니다.
- 자연수 개수 세기: 얻어진 \(n\)의 범위(\( \frac{64}{6} < n < \frac{81}{6} \)) 내에 포함되는 자연수(양의 정수)의 개수를 셉니다.
핵심 개념 및 성질:
- 부등식의 성질: \(0 < a < b\) 이면 \( a^2 < b^2 \) 입니다. 마찬가지로 \(0 < a < b < c\) 이면 \( a^2 < b^2 < c^2 \) 입니다. (모든 변이 양수일 때 제곱해도 부등호 방향 유지)
- 제곱근과 제곱: \( (\sqrt{k})^2 = k \) (단, \(k \ge 0\))
- 자연수 개수 세기: 부등식 \( m < n < p \) 를 만족하는 정수 \(n\)의 개수를 셀 때는, \(m\)과 \(p\)의 값을 고려하여 그 사이의 정수를 찾습니다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 주어진 부등식 확인
주어진 부등식은 \( 8 < \sqrt{6n} < 9 \) 입니다.
이 부등식의 모든 변(8, \(\sqrt{6n}\), 9)은 양수입니다. (\(n\)은 자연수이므로 \(\sqrt{6n}\)도 양수입니다.)
Step 2: 부등식의 각 변 제곱하기
모든 변이 양수이므로, 각 변을 제곱해도 부등호의 방향은 그대로 유지됩니다.
$$ 8^2 < (\sqrt{6n})^2 < 9^2 $$
Step 3: 제곱 계산 및 부등식 정리
각 항의 제곱 값을 계산합니다.
- \( 8^2 = 64 \)
- \( (\sqrt{6n})^2 = 6n \)
- \( 9^2 = 81 \)
계산된 값을 부등식에 대입합니다.
$$ 64 < 6n < 81 $$
Step 4: \(n\)의 범위 구하기
부등식 \( 64 < 6n < 81 \) 의 각 변을 6으로 나누어 \(n\)의 범위를 구합니다.
$$ \frac{64}{6} < n < \frac{81}{6} $$
분수를 간단히 하거나 소수로 변환하여 범위를 파악합니다.
- \( \frac{64}{6} = \frac{32}{3} = 10\frac{2}{3} \approx 10.67 \)
- \( \frac{81}{6} = \frac{27}{2} = 13\frac{1}{2} = 13.5 \)
따라서 \(n\)의 범위는 다음과 같습니다.
$$ 10.67… < n < 13.5 $$
(또는 \( 10\frac{2}{3} < n < 13\frac{1}{2} \) )
Step 5: 범위 내 자연수 개수 계산
부등식 \( 10.67… < n < 13.5 \) 를 만족시키는 자연수 \(n\)을 찾습니다.
10.67… 보다 크고 13.5 보다 작은 자연수는 11, 12, 13 입니다.
개수를 세면 총 3개입니다.
🧠 마무리 개념 정리
제곱근을 포함한 부등식 \( a < \sqrt{kn} < b \) (단, \(a, b\)는 양수, \(k\)는 양의 상수)를 푸는 방법은 다음과 같습니다.
- 부등식의 모든 변이 양수임을 확인합니다.
- 각 변을 제곱하여 제곱근 기호를 없앱니다. 이때 부등호 방향은 유지됩니다. (\( a^2 < kn < b^2 \))
- 얻어진 부등식의 각 변을 \(k\)로 나누어 \(n\)의 범위를 구합니다. (\( \frac{a^2}{k} < n < \frac{b^2}{k} \))
- 계산된 \(n\)의 범위 내에서 문제에서 요구하는 수(자연수, 정수 등)의 개수를 셉니다. 분수 형태의 경계값을 소수나 대분수로 바꾸면 정수를 찾기 쉽습니다.
부등식의 성질과 자연수의 정의를 정확히 이해하고 적용하는 것이 중요합니다.
✅ 최종 정답
부등식 \( 8 < \sqrt{6n} < 9 \) 를 만족시키는 자연수 \(n\)은 11, 12, 13으로 총 3개입니다.
따라서 정답은 ②번입니다.