📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 주어진 부등식 \( -\sqrt{24} < -\sqrt{2x+3} < -1 \) 을 만족시키는 모든 자연수 \(x\) 값의 합을 구하는 문제입니다. 부등식에 음의 제곱근이 포함되어 있으므로, 부등식의 성질을 이용하여 \(x\)의 범위를 찾는 전략을 사용합니다.
- 부등식 정리: 부등식의 각 변에 -1을 곱하여 양수로 만들고 부등호 방향을 바꿉니다.
- 제곱 이용: 정리된 부등식의 각 변을 제곱하여 제곱근 기호를 없앱니다. 모든 변이 양수이므로 제곱해도 부등호 방향은 유지됩니다.
- \(x\) 범위 구하기: 제곱하여 얻어진 부등식을 \(x\)에 대해 풀어 \(x\)의 범위를 구합니다.
- 자연수 찾기: 얻어진 \(x\)의 범위 내에 포함되는 자연수를 모두 찾습니다.
- 합 계산: 찾은 모든 자연수 \(x\) 값들의 합을 구합니다. 등차수열의 합 공식을 이용하면 편리합니다.
핵심 개념 및 성질:
- 부등식의 성질:
- 각 변에 음수를 곱하면 부등호 방향이 바뀐다. (\(a < b \implies -a > -b\))
- 모든 변이 양수일 때, 각 변을 제곱해도 부등호 방향은 유지된다. (\(0 < a < b \implies 0 < a^2 < b^2\))
- 제곱근과 제곱: \( (\sqrt{k})^2 = k \) (단, \(k \ge 0\))
- 등차수열의 합 (1부터 k까지 자연수 합): \( 1 + 2 + \dots + k = \frac{k(k+1)}{2} \)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 부등식 정리 (음수 제거)
주어진 부등식은 \( -\sqrt{24} < -\sqrt{2x+3} < -1 \) 입니다.
부등식의 각 변에 -1을 곱합니다. 음수를 곱했으므로 부등호의 방향이 반대로 바뀝니다.
$$ (-1) \times (-\sqrt{24}) > (-1) \times (-\sqrt{2x+3}) > (-1) \times (-1) $$
$$ \sqrt{24} > \sqrt{2x+3} > 1 $$
보통 작은 수를 왼쪽에 쓰므로, 순서를 바꿔 쓰면 다음과 같습니다.
$$ 1 < \sqrt{2x+3} < \sqrt{24} $$
Step 2: 부등식의 각 변 제곱하기
부등식 \( 1 < \sqrt{2x+3} < \sqrt{24} \) 의 모든 변(1, \(\sqrt{2x+3}\), \(\sqrt{24}\))은 양수입니다.
따라서 각 변을 제곱해도 부등호의 방향은 그대로 유지됩니다.
$$ 1^2 < (\sqrt{2x+3})^2 < (\sqrt{24})^2 $$
Step 3: 제곱 계산 및 부등식 정리
각 항의 제곱 값을 계산합니다.
- \( 1^2 = 1 \)
- \( (\sqrt{2x+3})^2 = 2x+3 \)
- \( (\sqrt{24})^2 = 24 \)
계산된 값을 부등식에 대입합니다.
$$ 1 < 2x+3 < 24 $$
Step 4: \(x\)의 범위 구하기
부등식 \( 1 < 2x+3 < 24 \) 에서 \(x\)의 범위를 구하기 위해 먼저 각 변에서 3을 뺍니다.
$$ 1 – 3 < 2x + 3 - 3 < 24 - 3 $$
$$ -2 < 2x < 21 $$
이제 각 변을 2로 나눕니다.
$$ \frac{-2}{2} < \frac{2x}{2} < \frac{21}{2} $$
$$ -1 < x < 10.5 $$
Step 5: 범위 내 자연수 \(x\) 찾기
부등식 \( -1 < x < 10.5 \) 를 만족시키는 자연수 \(x\)를 찾습니다.
자연수는 1 이상의 정수이므로, 가능한 \(x\) 값은 다음과 같습니다.
$$ x = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 $$
Step 6: 자연수 \(x\) 값들의 합 계산
Step 5에서 찾은 모든 자연수 \(x\) 값들의 합을 구합니다.
$$ \text{합} = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 $$
이는 1부터 10까지의 자연수의 합이므로, 등차수열의 합 공식을 이용합니다.
$$ \text{합} = \frac{10 \times (10 + 1)}{2} = \frac{10 \times 11}{2} = \frac{110}{2} = 55 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 제곱근을 포함하고 음수로 표현된 부등식을 푸는 과정을 다룹니다.
- 부등식 변형: 음수로 된 부등식은 양변에 -1을 곱하여 양수로 만들면 다루기 편합니다. 이때 부등호 방향이 바뀌는 것에 주의해야 합니다.
- 제곱근 제거: 부등식의 모든 항이 양수일 경우, 각 항을 제곱하여 제곱근을 제거할 수 있으며 부등호 방향은 유지됩니다.
- \(x\) 범위 찾기: 얻어진 \(x\)에 대한 부등식을 풀어 \(x\)의 정확한 범위를 구합니다.
- 조건 만족 확인: 문제에서 요구하는 \(x\)의 조건(예: 자연수)을 확인하고, 범위 내에서 해당 조건을 만족하는 \(x\) 값들만 선별합니다.
- 최종 계산: 문제에서 요구하는 값(예: 합, 개수)을 계산합니다. 연속된 자연수의 합은 등차수열 합 공식을 이용하면 편리합니다.
부등식의 성질을 정확히 적용하고, 최종적으로 문제에서 요구하는 조건을 만족하는 해를 구하는 것이 중요합니다.
✅ 최종 정답
주어진 부등식을 만족시키는 모든 자연수 \(x\)는 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 이고, 이들의 합은 55입니다.
따라서 정답은 55 입니다.