📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 함수 \(f(x)\)가 “자연수 \(x\)에 대하여 \(\sqrt{x}\)보다 작은 자연수의 개수”로 정의될 때, 합 \(f(1) + f(2) + f(3) + \dots + f(n) = 54\) 를 만족시키는 자연수 \(n\)의 값을 구하는 문제입니다.
풀이 전략은 다음과 같습니다.
- \(f(x)\)의 값 분석: \(f(x)\)의 값이 \(x\)의 범위에 따라 어떻게 변하는지 분석합니다. \(f(x)\)는 \(\sqrt{x}\)가 특정 정수 값을 넘어설 때마다 1씩 증가할 것으로 예상할 수 있습니다. \(f(x) = m\) 이라는 것은, \(\sqrt{x}\)보다 작은 자연수가 \(m\)개 있다는 의미입니다. 즉, 자연수 \(k\)에 대해 \(k < \sqrt{x}\)를 만족하는 \(k\)가 \(m\)개 있다는 뜻입니다. 이는 \(m < \sqrt{x} \le m+1\) 일 때 \(f(x)=m\) 임을 의미합니다. (단, \(m=0\)일 때는 \(0 < \sqrt{x} \le 1\))
- \(f(x)\) 값이 일정한 \(x\) 구간 찾기: \(f(x)=m\) 이 되는 \(x\)의 범위를 찾습니다.
- \(f(x)=0 \iff 0 < \sqrt{x} \le 1 \iff 0 < x \le 1\)
- \(f(x)=1 \iff 1 < \sqrt{x} \le 2 \iff 1 < x \le 4\)
- \(f(x)=2 \iff 2 < \sqrt{x} \le 3 \iff 4 < x \le 9\)
- \(f(x)=3 \iff 3 < \sqrt{x} \le 4 \iff 9 < x \le 16\)
- \(f(x)=4 \iff 4 < \sqrt{x} \le 5 \iff 16 < x \le 25\)
- … 등등
- 구간별 합 계산: 각 구간별로 \(f(x)\) 값과 그 값을 가지는 \(x\)의 개수를 곱하여 합을 구하고, 누적 합을 계산합니다.
- 목표 합 도달 지점 찾기: 누적 합이 54가 되는 지점의 \(n\) 값을 찾습니다.
핵심 개념:
- \(f(x)\) = \(\sqrt{x}\)보다 작은 자연수의 개수
- \(f(x) = m\) \(\iff\) \(m < \sqrt{x} \le m+1\) (단, \(m\)은 0 또는 양의 정수) \(\iff\) \(m^2 < x \le (m+1)^2\)
- 구간별 항의 개수: \(f(x)=m\) (\(m \ge 1\)) 인 \(x\)의 개수는 \((m+1)^2 – m^2 = 2m+1\) 개.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: \(f(x)\) 값 및 해당 \(x\) 범위/개수 파악
위의 분석에 따라 각 \(f(x)\) 값에 해당하는 \(x\)의 범위와 개수를 정리합니다.
- \(f(x) = 0\): \(0 < x \le 1\) \(\implies\) \(x=1\). (1개)
- \(f(x) = 1\): \(1 < x \le 4\) \(\implies\) \(x=2, 3, 4\). (3개)
- \(f(x) = 2\): \(4 < x \le 9\) \(\implies\) \(x=5, 6, 7, 8, 9\). (5개)
- \(f(x) = 3\): \(9 < x \le 16\) \(\implies\) \(x=10, 11, ..., 16\). (7개)
- \(f(x) = 4\): \(16 < x \le 25\) \(\implies\) \(x=17, 18, ..., 25\). (9개)
- …
Step 2: 구간별 합 계산 및 누적 합 계산
각 구간별로 \(f(x)\) 값과 그 개수를 곱하여 합을 구하고, 이전까지의 합에 더해 누적 합을 계산합니다.
- \(f(x)=0\) 구간 (x=1):
- 구간 합: \(0 \times 1 = 0\)
- 누적 합 (n=1까지): 0
- \(f(x)=1\) 구간 (x=2, 3, 4):
- 구간 합: \(1 \times 3 = 3\)
- 누적 합 (n=4까지): \(0 + 3 = 3\)
- \(f(x)=2\) 구간 (x=5, …, 9):
- 구간 합: \(2 \times 5 = 10\)
- 누적 합 (n=9까지): \(3 + 10 = 13\)
- \(f(x)=3\) 구간 (x=10, …, 16):
- 구간 합: \(3 \times 7 = 21\)
- 누적 합 (n=16까지): \(13 + 21 = 34\)
Step 3: 목표 합 도달 확인
우리가 찾아야 하는 합은 54입니다. 현재 \(n=16\)까지의 누적 합은 34입니다.
다음 구간은 \(f(x) = 4\) 인 구간입니다. 이 구간의 합이 얼마나 필요한지 계산합니다.
필요한 추가 합: \( 54 – 34 = 20 \)
\(f(x)=4\) 구간의 각 항의 값은 4입니다. 합 20을 만들기 위해 필요한 항의 개수를 계산합니다.
필요한 항의 개수: \( \frac{20}{4} = 5 \) 개
Step 4: 최종 \(n\) 값 결정
\(f(x)=4\) 인 구간은 \(x=17\)부터 시작합니다.
이 구간에서 5개의 항이 필요하므로, 해당하는 \(x\) 값은 17, 18, 19, 20, 21 입니다.
즉, \(n=21\) 까지 더해야 누적 합이 정확히 54가 됩니다.
\( \sum_{x=1}^{21} f(x) = (\text{n=16까지 합}) + f(17)+f(18)+f(19)+f(20)+f(21) \)
$$ = 34 + (4 \times 5) = 34 + 20 = 54 $$
따라서 주어진 조건을 만족시키는 자연수 \(n\)은 21입니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 새로운 함수 \(f(x)\)의 정의를 이해하고, 그 함수의 합을 구하는 과정에서 규칙성을 파악하는 능력을 요구합니다.
- 함수 \(f(x)\)의 이해: \(f(x)\)는 \(\sqrt{x}\)보다 작은 자연수의 개수이므로, \(\sqrt{x}\)의 정수 부분과 밀접한 관련이 있습니다 (\(f(x) = \lfloor \sqrt{x} \rfloor\) 인지, 아니면 다른 관계인지 정확히 파악). 이 문제에서는 \(m < \sqrt{x} \le m+1\) 일 때 \(f(x)=m\) 이 성립합니다.
- 구간별 분석: \(f(x)\)의 값이 변하는 경계는 \(x\)가 완전제곱수일 때입니다. \(f(x)\) 값이 일정한 구간(\(m^2 < x \le (m+1)^2\))을 나누어 생각하는 것이 효율적입니다.
- 항의 개수 계산: 각 구간에 속하는 자연수 \(x\)의 개수를 정확히 세는 것이 중요합니다. (\((m+1)^2 – m^2 = 2m+1\) 개)
- 누적 합 계산: 구간별 합을 구하고 차례대로 더해가며 목표 합에 도달하는 지점을 찾습니다.
함수의 정의를 명확히 이해하고, 값이 변하는 지점(완전제곱수)을 기준으로 구간을 나누어 합을 계산하는 전략이 유효합니다.
✅ 최종 정답
\(f(1) + f(2) + \dots + f(n) = 54\) 를 만족시키는 자연수 \(n\)은 21입니다.