📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 닮음비가 2:5인 두 원의 넓이의 합이 \(87\pi \, \text{cm}^2\)일 때, 작은 원의 반지름의 길이를 구하는 문제입니다.
닮은 도형의 성질과 원의 넓이 공식을 이용하는 전략을 사용합니다.
- 넓이의 비 구하기: 닮은 두 평면도형의 닮음비가 \(m:n\)이면, 넓이의 비는 \(m^2 : n^2\) 임을 이용합니다.
- 비례 상수 도입: 두 원의 넓이를 넓이의 비와 비례 상수(예: \(k\) 또는 \(x\))를 이용하여 표현합니다.
- 방정식 세우기: 두 원의 넓이의 합이 \(87\pi\)라는 정보를 이용하여 비례 상수에 대한 방정식을 세웁니다.
- 비례 상수 구하기: 방정식을 풀어 비례 상수의 값을 구합니다.
- 작은 원의 넓이 계산: 구한 비례 상수를 이용하여 작은 원의 실제 넓이를 계산합니다.
- 반지름 계산: 작은 원의 넓이와 원의 넓이 공식(\( \text{넓이} = \pi r^2 \))을 이용하여 작은 원의 반지름 \(r\)을 구합니다. 반지름은 길이이므로 양수여야 합니다.
핵심 공식 및 개념:
- 닮음비와 넓이의 비: 닮음비가 \(m:n\)인 두 평면도형의 넓이의 비는 \(m^2:n^2\)
- 원의 넓이: 반지름이 \(r\)인 원의 넓이 \(A = \pi r^2\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 두 원의 넓이의 비 구하기
두 원의 닮음비가 2 : 5 라고 주어졌습니다.
닮은 평면도형의 넓이의 비는 닮음비의 제곱의 비와 같으므로, 두 원의 넓이의 비는 다음과 같습니다.
$$ (\text{넓이의 비}) = 2^2 : 5^2 = 4 : 25 $$
Step 2: 두 원의 넓이를 비례 상수를 이용하여 표현하기
두 원의 넓이의 비가 4 : 25 이므로, 작은 원의 넓이를 \(4k\), 큰 원의 넓이를 \(25k\) 라고 둘 수 있습니다 (여기서 \(k\)는 어떤 양의 상수).
(해설에서는 비례 상수를 \(x\)로 사용하고 넓이를 \(4x \, \text{cm}^2\), \(25x \, \text{cm}^2\) 로 표현했습니다. 같은 의미입니다.)
Step 3: 비례 상수 \(k\) 구하기
두 원의 넓이의 합이 \(87\pi \, \text{cm}^2\) 라고 주어졌습니다.
Step 2에서 설정한 넓이를 이용하여 방정식을 세웁니다.
$$ (\text{작은 원 넓이}) + (\text{큰 원 넓이}) = 87\pi $$
$$ 4k + 25k = 87\pi $$
방정식을 풉니다.
$$ 29k = 87\pi $$
$$ k = \frac{87\pi}{29} $$
\(87 \div 29 = 3\) 이므로,
$$ k = 3\pi $$
Step 4: 작은 원의 넓이 계산
작은 원의 넓이는 \(4k\) 입니다. Step 3에서 구한 \(k = 3\pi\) 를 대입합니다.
$$ \text{작은 원 넓이} = 4k = 4 \times (3\pi) = 12\pi \, (\text{cm}^2) $$
Step 5: 작은 원의 반지름 계산
작은 원의 반지름을 \(r\) cm 라고 하면, 원의 넓이 공식에 의해 넓이는 \(\pi r^2\) 입니다.
Step 4에서 구한 작은 원의 넓이와 같다고 놓습니다.
$$ \pi r^2 = 12\pi $$
양변을 \(\pi\)로 나눕니다 (\(\pi \ne 0\)).
$$ r^2 = 12 $$
반지름 \(r\)을 구하기 위해 양변에 양의 제곱근을 취합니다 (길이는 양수이므로).
$$ r = \sqrt{12} $$
따라서 작은 원의 반지름의 길이는 \( \sqrt{12} \) cm 입니다.
(참고: \( \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3} \) 로 간단히 할 수도 있습니다.)
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 닮은 도형의 중요한 성질과 원의 기본적인 공식을 활용하는 문제입니다.
- 닮음비와 넓이비: 닮음비가 \(m:n\)인 도형에서 길이의 비는 \(m:n\)이지만, 넓이의 비는 \(m^2:n^2\)가 됩니다. (부피의 비는 \(m^3:n^3\)). 이 관계를 정확히 이해하고 적용해야 합니다.
- 비례 관계 활용: 넓이의 비가 \(A:B\)라고 해서 실제 넓이가 \(A, B\)는 아닙니다. 실제 넓이는 \(Ak, Bk\)와 같이 비례 상수를 도입하여 표현해야 합니다. 문제에서 주어진 추가 정보(넓이의 합 등)를 이용하여 비례 상수 \(k\)를 구할 수 있습니다.
- 원의 넓이 공식: 반지름 \(r\)과 넓이 \(S\) 사이의 관계 \(S = \pi r^2\)를 이용하여 넓이로부터 반지름을 구할 수 있습니다 (\( r = \sqrt{\frac{S}{\pi}} \)).
닮음비, 넓이비, 원의 넓이 공식을 단계적으로 적용하여 문제를 해결할 수 있습니다.
✅ 최종 정답
작은 원의 반지름의 길이는 \( \sqrt{12} \, \text{cm} \) 입니다.