📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 둔각삼각형 ABC에서 두 변의 길이(\(\overline{AB}, \overline{BC}\))와 넓이가 주어졌을 때, 나머지 한 변(\(\overline{AC}\))의 길이를 구하는 문제입니다. 삼각형의 넓이 공식을 이용하여 높이를 구하고, 피타고라스 정리를 두 번 적용하여 문제를 해결하는 전략을 사용합니다.
- 높이 구하기: 꼭짓점 A에서 밑변 BC (또는 그 연장선)에 내린 수선의 발을 H라고 할 때, 삼각형 ABC의 넓이 공식을 이용하여 높이 \(\overline{AH}\)를 구합니다. (\(\text{넓이} = \frac{1}{2} \times \text{밑변} \times \text{높이}\))
- 직각삼각형 활용: 수선 AH는 삼각형 ABC를 두 개의 직각삼각형(ABH와 AHC)으로 나눕니다 (H의 위치에 따라 구성이 달라질 수 있음).
- 피타고라스 정리 적용 1: 직각삼각형 ABH에서 피타고라스 정리를 이용하여 \(\overline{BH}\)의 길이를 구합니다. (\( \overline{AB}^2 = \overline{AH}^2 + \overline{BH}^2 \))
- 밑변 분할 길이 계산: \(\overline{BC}\)와 \(\overline{BH}\)의 길이를 이용하여 \(\overline{CH}\)의 길이를 구합니다. (H의 위치에 따라 \(\overline{CH} = |\overline{BC} – \overline{BH}|\) 또는 \(\overline{CH} = \overline{BC} + \overline{BH}\) 등이 될 수 있습니다. 해설의 계산 과정을 따라갑니다.)
- 피타고라스 정리 적용 2: 직각삼각형 AHC에서 피타고라스 정리를 이용하여 \(\overline{AC}\)의 길이를 구합니다. (\( \overline{AC}^2 = \overline{AH}^2 + \overline{CH}^2 \))
핵심 공식:
- 삼각형 넓이 \(S = \frac{1}{2} \times \text{밑변} \times \text{높이}\)
- 피타고라스 정리: 직각삼각형에서 \( (\text{빗변})^2 = (\text{밑변})^2 + (\text{높이})^2 \)
문제에서 ∠BAC가 둔각이라고 했으나, 해설의 계산 과정은 수선의 발 H가 밑변 BC 위에 있는 경우를 따르고 있습니다. 이 풀이에서는 해설의 흐름을 따릅니다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 삼각형의 높이(\(\overline{AH}\)) 구하기
점 A에서 변 BC에 내린 수선의 발을 H라고 합니다.
삼각형 ABC의 넓이는 8이고, 밑변 BC의 길이는 8입니다.
넓이 공식을 이용합니다: \( \text{넓이} = \frac{1}{2} \times \overline{BC} \times \overline{AH} \)
$$ 8 = \frac{1}{2} \times 8 \times \overline{AH} $$
$$ 8 = 4 \times \overline{AH} $$
따라서 높이 \(\overline{AH}\)는 다음과 같습니다.
$$ \overline{AH} = \frac{8}{4} = 2 \, (\text{cm}) $$
Step 2: 선분 BH의 길이 구하기
직각삼각형 ABH에서 빗변 \(\overline{AB} = \sqrt{29}\), 높이 \(\overline{AH} = 2\) 입니다.
피타고라스 정리를 적용합니다: \( \overline{AB}^2 = \overline{AH}^2 + \overline{BH}^2 \)
$$ (\sqrt{29})^2 = 2^2 + \overline{BH}^2 $$
$$ 29 = 4 + \overline{BH}^2 $$
$$ \overline{BH}^2 = 29 – 4 = 25 $$
길이는 양수이므로,
$$ \overline{BH} = \sqrt{25} = 5 \, (\text{cm}) $$
Step 3: 선분 CH의 길이 구하기
해설의 계산 방식은 점 H가 선분 BC 위에 있다고 가정합니다.
점 B, H, C가 이 순서대로 직선 위에 있다고 하면, \(\overline{BC} = \overline{BH} + \overline{CH}\) 입니다.
\(\overline{BC} = 8\) 이고 \(\overline{BH} = 5\) 이므로,
$$ 8 = 5 + \overline{CH} $$
$$ \overline{CH} = 8 – 5 = 3 \, (\text{cm}) $$
Step 4: 선분 AC의 길이 구하기
직각삼각형 AHC에서 직각을 낀 두 변은 \(\overline{AH} = 2\) 와 \(\overline{CH} = 3\) 입니다.
빗변 \(\overline{AC}\)의 길이를 피타고라스 정리를 이용하여 구합니다: \( \overline{AC}^2 = \overline{AH}^2 + \overline{CH}^2 \)
$$ \overline{AC}^2 = 2^2 + 3^2 $$
$$ \overline{AC}^2 = 4 + 9 = 13 $$
길이는 양수이므로,
$$ \overline{AC} = \sqrt{13} \, (\text{cm}) $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 삼각형의 넓이와 피타고라스 정리를 복합적으로 활용하여 변의 길이를 구하는 문제입니다.
- 넓이 공식 활용: 삼각형의 넓이와 밑변 길이를 알면 높이를 구할 수 있습니다. (\(\text{높이} = \frac{2 \times \text{넓이}}{\text{밑변}}\))
- 수선의 발과 직각삼각형: 삼각형의 꼭짓점에서 대변(또는 그 연장선)에 수선을 내리면 직각삼각형이 만들어집니다. 이 직각삼각형에 피타고라스 정리를 적용할 수 있습니다.
- 피타고라스 정리: 직각삼각형의 세 변 중 두 변의 길이를 알면 나머지 한 변의 길이를 구할 수 있습니다. (\(a^2 + b^2 = c^2\))
- 좌표 또는 그림 활용: 복잡한 도형 문제에서는 좌표평면을 도입하거나 그림을 그려 각 부분의 길이를 명확히 파악하는 것이 도움이 됩니다. 수선의 발 H의 위치에 따라 밑변 위의 선분 길이 관계(덧셈 또는 뺄셈)가 달라질 수 있습니다.
주어진 정보를 활용하여 높이를 구하고, 이를 바탕으로 피타고라스 정리를 단계적으로 적용하는 것이 중요합니다.
✅ 최종 정답
변 AC의 길이는 \( \sqrt{13} \, \text{cm} \) 입니다.
따라서 정답은 ①번입니다.