📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 주어진 방정식 \( \sqrt{(x+2)^2} – \sqrt{(x-2)^2} = x+1 \) 을 \(x\)의 값의 범위에 따라 세 가지 경우로 나누어 푸는 문제입니다.
핵심 전략은 제곱근의 성질 \( \sqrt{k^2} = |k| \) 를 이용하여 방정식을 절댓값을 포함한 식으로 변환한 후, 각 범위에 따라 절댓값 안의 식의 부호를 판단하여 절댓값을 풀어 일차방정식을 해결하는 것입니다.
- 절댓값 변환: 주어진 방정식을 \( |x+2| – |x-2| = x+1 \) 로 변환합니다.
- 범위별 풀이:
- (1) \(x \ge 2\) 일 때: \(x+2\) 와 \(x-2\)의 부호를 판단하고 절댓값을 풀어 방정식을 풉니다.
- (2) \(-2 \le x < 2\) 일 때: \(x+2\) 와 \(x-2\)의 부호를 판단하고 절댓값을 풀어 방정식을 풉니다.
- (3) \(x < -2\) 일 때: \(x+2\) 와 \(x-2\)의 부호를 판단하고 절댓값을 풀어 방정식을 풉니다.
- 해 검증: 각 경우에서 구한 해가 해당 범위에 속하는지 확인합니다.
핵심 공식 및 성질:
- \( \sqrt{k^2} = |k| \)
- 절댓값의 정의: \( |k| = \begin{cases} k & (k \ge 0) \\ -k & (k < 0) \end{cases} \)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 주어진 방정식을 절댓값 형태로 변환
\( \sqrt{(x+2)^2} – \sqrt{(x-2)^2} = x+1 \)
\( \sqrt{k^2} = |k| \) 성질을 적용하면,
$$ |x+2| – |x-2| = x+1 $$
(1) \(x \ge 2\)일 때
Step 1-1: 절댓값 내부 부호 판단
- \(x \ge 2\) 이면 \(x+2 \ge 2+2 = 4\). 따라서 \(x+2 > 0\) (양수).
- \(x \ge 2\) 이면 \(x-2 \ge 2-2 = 0\). 따라서 \(x-2 \ge 0\) (0 또는 양수).
Step 1-2: 절댓값 풀기
- \(|x+2| = x+2\)
- \(|x-2| = x-2\)
Step 1-3: 방정식 풀기
절댓값을 푼 결과를 Step 1의 식에 대입합니다.
$$ (x+2) – (x-2) = x+1 $$
괄호를 풀고 정리합니다.
$$ x+2 – x + 2 = x+1 $$
$$ 4 = x+1 $$
$$ x = 4 – 1 = 3 $$
Step 1-4: 해 검증
구한 해 \(x=3\)이 주어진 범위 \(x \ge 2\)에 속하는지 확인합니다.
\(3 \ge 2\) 이므로 조건을 만족합니다.
\(x \ge 2\)일 때의 해는 \(x = 3\) 입니다.
(2) \(-2 \le x < 2\)일 때
Step 2-1: 절댓값 내부 부호 판단
- \(-2 \le x\) 이면 \(x+2 \ge -2+2 = 0\). 따라서 \(x+2 \ge 0\) (0 또는 양수).
- \(x < 2\) 이면 \(x-2 < 2-2 = 0\). 따라서 \(x-2 < 0\) (음수).
Step 2-2: 절댓값 풀기
- \(|x+2| = x+2\)
- \(|x-2| = -(x-2) = -x+2\)
Step 2-3: 방정식 풀기
절댓값을 푼 결과를 Step 1의 식에 대입합니다.
$$ (x+2) – (-x+2) = x+1 $$
괄호를 풀고 정리합니다.
$$ x+2 + x – 2 = x+1 $$
$$ 2x = x+1 $$
$$ 2x – x = 1 $$
$$ x = 1 $$
Step 2-4: 해 검증
구한 해 \(x=1\)이 주어진 범위 \(-2 \le x < 2\)에 속하는지 확인합니다.
\(-2 \le 1 < 2\) 이므로 조건을 만족합니다.
\(-2 \le x < 2\)일 때의 해는 \(x = 1\) 입니다.
(3) \(x < -2\)일 때
Step 3-1: 절댓값 내부 부호 판단
- \(x < -2\) 이면 \(x+2 < -2+2 = 0\). 따라서 \(x+2 < 0\) (음수).
- \(x < -2\) 이면 \(x < 2\) 이므로 \(x-2 < 2-2 = 0\). 따라서 \(x-2 < 0\) (음수).
Step 3-2: 절댓값 풀기
- \(|x+2| = -(x+2) = -x-2\)
- \(|x-2| = -(x-2) = -x+2\)
Step 3-3: 방정식 풀기
절댓값을 푼 결과를 Step 1의 식에 대입합니다.
$$ (-x-2) – (-x+2) = x+1 $$
괄호를 풀고 정리합니다.
$$ -x-2 + x – 2 = x+1 $$
$$ -4 = x+1 $$
$$ x = -4 – 1 = -5 $$
Step 3-4: 해 검증
구한 해 \(x=-5\)가 주어진 범위 \(x < -2\)에 속하는지 확인합니다.
\(-5 < -2\) 이므로 조건을 만족합니다.
\(x < -2\)일 때의 해는 \(x = -5\) 입니다.
🧠 마무리 개념 정리
제곱근과 절댓값을 포함한 방정식을 풀 때는 다음 단계를 따르는 것이 중요합니다.
- 절댓값 변환: \( \sqrt{k^2} = |k| \) 를 이용하여 제곱근을 절댓값으로 바꿉니다.
- 범위 나누기: 절댓값 안의 식이 0이 되는 지점을 기준으로 \(x\)의 범위를 나눕니다. 이 문제에서는 \(x=-2\)와 \(x=2\)가 기준점이 되어 \(x \ge 2\), \(-2 \le x < 2\), \(x < -2\) 세 구간으로 나뉩니다.
- 구간별 풀이: 각 범위에서 절댓값 안의 식의 부호를 판단하고 절댓값을 풀어 방정식을 풉니다.
- 해 검증: 각 구간에서 구한 해가 해당 구간의 범위 조건을 만족하는지 반드시 확인합니다.
절댓값 기호는 내부 식의 부호에 따라 다르게 처리되므로, 범위를 나누어 각 범위에서의 부호를 정확히 판단하는 것이 핵심입니다.
✅ 최종 정답
(1) \(x \ge 2\)일 때, \(x = 3\)
(2) \(-2 \le x < 2\)일 때, \(x = 1\)
(3) \(x < -2\)일 때, \(x = -5\)