📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 서로 다른 두 개의 주사위를 던져 나온 눈의 수를 각각 \(x, y\)라고 할 때, \( \sqrt{18xy} \) 가 자연수가 될 확률을 구하는 문제입니다.
확률을 구하기 위해서는 전체 경우의 수와 조건을 만족하는 경우의 수를 찾아야 합니다. 핵심 전략은 다음과 같습니다.
- 전체 경우의 수 계산: 서로 다른 두 주사위를 던질 때 나올 수 있는 모든 순서쌍 \((x, y)\)의 개수를 구합니다.
- 조건 분석: \( \sqrt{18xy} \) 가 자연수가 되려면 근호 안의 값 \( 18xy \) 가 어떤 자연수의 제곱, 즉 완전제곱수가 되어야 합니다.
- 소인수분해 활용: \( 18xy \) 를 소인수분해하여 완전제곱수가 될 조건을 찾습니다. \(18 = 2 \times 3^2\) 이므로, \( 18xy = 2^1 \times 3^2 \times x \times y \) 입니다. 이 값이 완전제곱수가 되려면 모든 소인수의 지수가 짝수여야 합니다.
- \(xy\)의 조건 도출: \( 18xy \) 의 지수를 짝수로 만들기 위해 \(x \times y\) 가 가져야 할 조건을 찾습니다. (\(xy\)는 \(2 \times (\text{제곱수})\) 형태여야 합니다.)
- 조건 만족 경우 찾기: 주사위 눈의 수 \(x, y\)는 1부터 6까지의 자연수라는 제한 조건 하에서, 위 \(xy\)의 조건을 만족하는 모든 순서쌍 \((x, y)\)를 찾습니다.
- 확률 계산: (조건 만족 경우의 수) / (전체 경우의 수) 를 계산합니다.
핵심 개념:
- 확률 = (사건이 일어나는 경우의 수) / (일어날 수 있는 모든 경우의 수)
- 주사위 두 개 던질 때 총 경우의 수: \(6 \times 6 = 36\)
- \( \sqrt{N} \) 이 자연수 \(\iff\) \(N\)은 완전제곱수 (단, N > 0)
- \(N\)이 완전제곱수 \(\iff\) \(N\)을 소인수분해했을 때 모든 소인수의 지수가 짝수
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 전체 경우의 수 계산
서로 다른 두 개의 주사위를 던지므로, 첫 번째 주사위에서 나올 수 있는 눈의 수는 6가지, 두 번째 주사위에서 나올 수 있는 눈의 수도 6가지입니다.
따라서 모든 경우의 수는 \( 6 \times 6 = 36 \) 가지입니다.
Step 2: \( \sqrt{18xy} \) 가 자연수가 될 조건 분석
\( \sqrt{18xy} \) 가 자연수가 되려면 \( 18xy \) 가 완전제곱수여야 합니다.
18을 소인수분해하면 \( 18 = 2 \times 9 = 2^1 \times 3^2 \) 입니다.
따라서 \( 18xy = 2^1 \times 3^2 \times xy \) 입니다.
이 값이 완전제곱수가 되려면 모든 소인수의 지수가 짝수여야 합니다. 현재 소인수 3의 지수는 2(짝수)이지만, 소인수 2의 지수는 1(홀수)입니다.
따라서 \(xy\)는 반드시 \(2^1\) 인수를 포함하여 2의 지수를 짝수로 만들어 주어야 하고, \(xy\)에 포함된 다른 모든 소인수들의 지수도 결과적으로 짝수가 되도록 해야 합니다.
결론적으로 \(xy\)는 \( 2 \times k^2 \) (단, \(k\)는 자연수) 꼴이어야 합니다.
(이렇게 되면 \( 18xy = 2^1 \times 3^2 \times (2 \times k^2) = 2^2 \times 3^2 \times k^2 = (2 \times 3 \times k)^2 = (6k)^2 \) 로 완전제곱수가 됩니다.)
Step 3: 가능한 \(xy\) 값 찾기
주사위 눈의 수 \(x, y\)는 1 이상 6 이하의 자연수입니다. 따라서 \(xy\)의 값의 범위는 \( 1 \times 1 \le xy \le 6 \times 6 \), 즉 \( 1 \le xy \le 36 \) 입니다.
이 범위 내에서 \( xy = 2 \times k^2 \) 꼴이 되는 값을 찾습니다.
- \(k=1\) 일 때: \( xy = 2 \times 1^2 = 2 \)
- \(k=2\) 일 때: \( xy = 2 \times 2^2 = 8 \)
- \(k=3\) 일 때: \( xy = 2 \times 3^2 = 18 \)
- \(k=4\) 일 때: \( xy = 2 \times 4^2 = 32 \)
- \(k=5\) 일 때: \( xy = 2 \times 5^2 = 50 \) (36보다 크므로 불가능)
따라서 가능한 \(xy\) 값은 2, 8, 18, 32 입니다.
Step 4: 조건을 만족하는 순서쌍 \((x, y)\) 찾기
각 \(xy\) 값에 대해, \(x\)와 \(y\)가 1부터 6까지의 자연수인 순서쌍 \((x, y)\)를 찾습니다.
\(xy = 2\):
가능한 순서쌍: (1, 2), (2, 1) (2개)\(xy = 8\):
가능한 순서쌍: (2, 4), (4, 2) (2개)\(xy = 18\):
가능한 순서쌍: (3, 6), (6, 3) (2개)\(xy = 32\):
곱해서 32가 되는 두 자연수 쌍은 (4, 8), (8, 4) 등이지만, \(x, y\)는 6 이하이므로 이를 만족하는 순서쌍은 없습니다. (0개)
Step 5: 조건을 만족하는 경우의 수 계산
Step 4에서 찾은 모든 순서쌍의 개수를 더합니다.
조건을 만족하는 경우의 수 = 2 + 2 + 2 + 0 = 6 가지.
해당 순서쌍은 (1, 2), (2, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 6), (6, 3) 입니다.
Step 6: 확률 계산
확률 = (조건을 만족하는 경우의 수) / (전체 경우의 수)
$$ P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 확률 계산과 제곱근이 자연수가 될 조건을 결합한 문제입니다.
- 확률의 기본: 전체 경우의 수와 특정 사건이 일어나는 경우의 수를 정확히 파악하는 것이 중요합니다.
- 제곱근 조건: \( \sqrt{N} \) 이 자연수가 되려면 \(N\)이 완전제곱수여야 하며, 이는 \(N\)을 소인수분해했을 때 모든 소인수의 지수가 짝수임을 의미합니다.
- 조건 만족 경우 찾기: 문제에 주어진 변수의 제한 조건(여기서는 주사위 눈, 1~6)을 반드시 고려하여, 도출된 조건을 만족하는 실제 경우들을 빠짐없이 찾아야 합니다.
- 체계적 접근: 가능한 \(xy\) 값을 먼저 찾고, 각 \(xy\) 값에 대해 순서쌍 \((x, y)\)를 찾는 방식으로 접근하면 중복이나 누락 없이 경우의 수를 셀 수 있습니다.
소인수분해를 이용한 완전제곱수 판별과 주어진 제한 조건 내에서 경우의 수를 찾는 연습이 필요합니다.
✅ 최종 정답
\( \sqrt{18xy} \) 가 자연수가 될 확률은 \( \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \) 입니다.
따라서 정답은 ④번입니다.