📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 주어진 부등식 \( 3 \le \sqrt{nx} < 4 \) 를 만족시키는 (단, \(n, nx\)는 자연수) 모든 \(x\) 값의 합이 12일 때, 자연수 \(n\)의 값을 구하는 문제입니다. 문제 해결을 위해 다음 전략을 사용합니다.
- 부등식 풀이 (\(nx\)의 범위): 주어진 부등식의 각 변을 제곱하여 \(nx\)의 범위를 구합니다.
- 가능한 \(nx\) 값 찾기: \(nx\)는 자연수라는 조건을 이용하여, 위에서 구한 범위 내의 모든 자연수 \(nx\) 값을 나열합니다.
- \(x\) 값 표현: 가능한 각 \(nx\) 값에 대해, \(x\)를 \(n\)을 이용하여 표현합니다 (\(x = \frac{nx}{n}\)).
- 합 조건으로 방정식 세우기: 문제에서 주어진 “모든 \(x\) 값의 합은 12이다”라는 조건을 이용하여 \(n\)에 대한 방정식을 세웁니다.
- 방정식 풀기: 세워진 방정식을 풀어 자연수 \(n\)의 값을 구합니다.
핵심 개념 및 성질:
- 제곱근 부등식: \(0 < A \le \sqrt{N} < B \implies A^2 \le N < B^2\)
- 자연수 조건 활용: 부등식의 범위를 만족하는 자연수 값만 고려합니다.
- 합의 표현: \(\sum x_i = (\text{주어진 합})\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 부등식을 풀어 \(nx\)의 범위 구하기
주어진 부등식은 \( 3 \le \sqrt{nx} < 4 \) 입니다.
부등식의 모든 변이 양수이므로, 각 변을 제곱해도 부등호의 방향은 그대로 유지됩니다.
$$ 3^2 \le (\sqrt{nx})^2 < 4^2 $$
$$ 9 \le nx < 16 $$
Step 2: 가능한 자연수 \(nx\) 값 찾기
문제에서 \(nx\)는 자연수라고 했습니다. Step 1에서 구한 범위 \( 9 \le nx < 16 \) 를 만족하는 자연수 \(nx\)는 다음과 같습니다.
$$ nx = 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 $$
Step 3: 각 경우의 \(x\) 값 표현하기
\(nx\)가 위에서 구한 값들일 때, 각각의 \(x\) 값은 \( x = \frac{nx}{n} \) 로 표현할 수 있습니다.
따라서 가능한 \(x\) 값들은 다음과 같습니다:
$$ \frac{9}{n}, \frac{10}{n}, \frac{11}{n}, \frac{12}{n}, \frac{13}{n}, \frac{14}{n}, \frac{15}{n} $$
Step 4: 합 조건을 이용하여 \(n\)에 대한 방정식 세우기
문제에서 이 모든 \(x\) 값들의 합이 12라고 주어졌습니다.
$$ \frac{9}{n} + \frac{10}{n} + \frac{11}{n} + \frac{12}{n} + \frac{13}{n} + \frac{14}{n} + \frac{15}{n} = 12 $$
분모가 \(n\)으로 같으므로 분자들을 모두 더합니다.
$$ \frac{9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15}{n} = 12 $$
Step 5: 분자의 합 계산하기
분자의 합을 계산합니다.
\( 9+10+11+12+13+14+15 \)
\(= (9+15) + (10+14) + (11+13) + 12 \)
\(= 24 + 24 + 24 + 12 = 72 + 12 = 84 \)
(또는 등차수열 합 공식: 항 개수 7개, 첫항 9, 끝항 15 이므로 합 = \( \frac{7 \times (9+15)}{2} = \frac{7 \times 24}{2} = 7 \times 12 = 84 \))
Step 6: 방정식 풀기
Step 4의 방정식은 다음과 같이 간단해집니다.
$$ \frac{84}{n} = 12 $$
\(n\)에 대해 풉니다.
$$ n = \frac{84}{12} $$
$$ n = 7 $$
\(n=7\)은 자연수이므로 문제의 조건을 만족합니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 제곱근 부등식을 풀고, 주어진 조건을 만족하는 변수의 값들을 찾은 다음, 그 합에 대한 정보를 이용하여 다른 미지수를 찾는 복합적인 문제입니다.
- 부등식 풀이: 제곱근을 포함한 부등식은 각 변을 제곱하여 제곱근을 없애는 방식으로 풉니다. 이때 모든 변이 양수인지 확인하고 부등호 방향에 유의합니다.
- 자연수 조건: 부등식의 해 중에서 자연수 조건(\(nx\)가 자연수)을 만족하는 값들을 정확히 찾아야 합니다.
- 변수 표현: \(nx\) 값들로부터 \(x\) 값을 \(n\)에 대한 식으로 표현합니다.
- 합 조건 활용: 주어진 합 정보를 이용하여 방정식으로 변환합니다. 분수들의 합은 통분하여 계산합니다.
- 방정식 해결: 최종적으로 얻어진 방정식을 풀어 미지수 \(n\)의 값을 구합니다.
단계별로 조건을 정확히 해석하고 적용하며, 특히 자연수 조건을 이용하여 가능한 값의 범위를 좁히는 것이 중요합니다.
✅ 최종 정답
주어진 조건을 만족시키는 자연수 \(n\)의 값은 7입니다.
따라서 정답은 ⑤번입니다.