📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 순환소수 \(5.\dot{4}\)의 음의 제곱근을 구하는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 다음 전략을 사용합니다.
- 순환소수 분수 변환: 먼저 주어진 순환소수 \(5.\dot{4}\)를 분수 형태로 변환합니다.
- ‘음의 제곱근’ 정의 적용: 어떤 양수 A의 음의 제곱근은 제곱해서 A가 되는 수 중에서 음수인 것을 의미하며, 기호로는 \(-\sqrt{A}\)로 나타냅니다.
- 제곱근 계산: 변환된 분수 값에 대해 음의 제곱근을 계산합니다. 제곱근의 성질 \( \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \) 를 이용합니다.
핵심 공식 및 개념:
- 순환소수 분수 변환 공식: \( a.b\dot{c} = \frac{abc – ab}{90} \), \( a.\dot{b} = \frac{ab – a}{9} \), \( 0.\dot{a}\dot{b} = \frac{ab}{99} \) 등
(\(5.\dot{4}\)의 경우: 소수점 아래 순환마디 숫자 1개이므로 분모는 9. 분자는 전체 수 54에서 순환하지 않는 부분 5를 뺀 값.) - A의 음의 제곱근 = \(-\sqrt{A}\) (단, A > 0)
- 제곱근의 성질: \( \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \) (단, \(a \ge 0, b > 0\))
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 순환소수 \(5.\dot{4}\) 를 분수로 변환하기
주어진 순환소수는 \(5.\dot{4} = 5.444…\) 입니다.
순환소수를 분수로 변환하는 공식을 적용합니다.
소수점 아래 순환하는 숫자는 ‘4’ 하나이므로 분모는 9입니다.
분자는 전체 수(소수점 무시) 54에서 순환하지 않는 부분 5를 뺀 값입니다.
$$ 5.\dot{4} = \frac{54 – 5}{9} = \frac{49}{9} $$
따라서 문제는 “\( \frac{49}{9} \)의 음의 제곱근은?” 과 같습니다.
Step 2: \( \frac{49}{9} \) 의 음의 제곱근 계산하기
\( \frac{49}{9} \)의 음의 제곱근은 제곱해서 \( \frac{49}{9} \) 가 되는 수 중에서 음수인 것을 의미합니다.
이는 기호로 \( -\sqrt{\frac{49}{9}} \) 로 나타낼 수 있습니다.
제곱근의 성질 \( \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \) 를 이용하여 계산합니다.
$$ -\sqrt{\frac{49}{9}} = -\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{9}} $$
\( \sqrt{49} = 7 \) 이고 \( \sqrt{9} = 3 \) 이므로,
$$ = -\frac{7}{3} $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 순환소수를 분수로 변환하는 능력과 제곱근의 정의, 특히 ‘음의 제곱근’의 의미를 정확히 아는지를 평가합니다.
- 순환소수 변환: 순환소수는 유리수이므로 항상 분수로 나타낼 수 있습니다. 변환 공식을 정확히 숙지하고 적용해야 합니다.
- 제곱근 용어:
- ‘A의 제곱근’: \(\pm \sqrt{A}\) (두 개)
- ‘A의 양의 제곱근’: \(\sqrt{A}\) (한 개)
- ‘A의 음의 제곱근’: \(-\sqrt{A}\) (한 개)
- ‘제곱근 A’: \(\sqrt{A}\) (한 개)
- 제곱근 계산: 분수의 제곱근은 각 분자와 분모의 제곱근으로 나누어 계산할 수 있습니다 (\( \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \)).
순환소수 변환부터 차근차근 진행하고, 제곱근 용어의 의미를 혼동하지 않으면 쉽게 해결할 수 있습니다.
✅ 최종 정답
\(5.\dot{4} = \frac{49}{9}\) 이고, 이것의 음의 제곱근은 \(-\sqrt{\frac{49}{9}} = -\frac{7}{3}\) 입니다.
따라서 정답은 ③번입니다.