📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 주어진 식 \( \sqrt{(x-a)^2} + \sqrt{9(x+b)^2} \) 을 간단히 하는 과정에서, \(x-a\)의 부호를 잘못 보고 계산하여 \(2x+11\)이라는 결과를 얻었다는 정보를 제공합니다. 추가로 \(a+b=5\)라는 조건이 주어졌을 때, 바르게 계산한 식을 구하는 문제입니다.
핵심 전략은 다음과 같습니다.
- 식 변환: 제곱근의 성질 \( \sqrt{k^2} = |k| \) 를 이용하여 주어진 식을 절댓값 형태로 변환합니다: \( |x-a| + |3(x+b)| = |x-a| + 3|x+b| \).
- 잘못된 계산 분석: 잘못된 계산 결과(\(2x+11\))가 나오게 된 과정을 추적합니다. 이는 \(|x-a|\) 와 \(|x+b|\) 를 풀 때 어떤 부호 조합을 사용했는지를 의미합니다. 특히 \(x-a\)의 부호를 잘못 판단했다고 했으므로, 어떤 부호를 사용했어야 하는데 다른 부호를 사용했는지 파악합니다.
- \(a, b\) 관계식 유도: 잘못된 계산 결과와 절댓값을 풀었을 때의 식을 비교하여 \(a, b\) 사이의 관계식을 하나 얻습니다.
- 연립방정식 풀이: 위에서 얻은 관계식과 문제에서 주어진 \(a+b=5\)를 연립하여 \(a\)와 \(b\)의 값을 구합니다.
- 올바른 부호 판단 및 계산: 잘못 판단했던 \(x-a\)의 부호는 실제로는 반대였을 것이고, \(x+b\)의 부호는 (문제에서 언급 없으므로) 올바르게 판단했다고 가정합니다. 이 올바른 부호 조합에 따라 절댓값을 풀어 식을 간단히 하고, 구한 \(a, b\) 값을 대입하여 최종 답을 구합니다.
핵심 공식 및 성질:
- \( \sqrt{k^2} = |k| \)
- 절댓값의 정의: \( |k| = \begin{cases} k & (k \ge 0) \\ -k & (k < 0) \end{cases} \)
- \( |cd| = |c||d| \), 특히 \(c>0\) 이면 \( |c k| = c |k| \)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 주어진 식을 절댓값 형태로 변환
주어진 식은 \( \sqrt{(x-a)^2} + \sqrt{9(x+b)^2} \) 입니다.
\( \sqrt{k^2} = |k| \) 성질을 적용하면,
$$ \sqrt{(x-a)^2} = |x-a| $$
$$ \sqrt{9(x+b)^2} = \sqrt{(3(x+b))^2} = |3(x+b)| = |3| \times |x+b| = 3|x+b| $$
따라서 주어진 식은 다음과 같이 변형됩니다.
$$ A = |x-a| + 3|x+b| $$
Step 2: 잘못된 계산 분석
절댓값을 푸는 경우는 다음 4가지가 있습니다.
- \(x-a \ge 0, x+b \ge 0\) 일 때: \( A = (x-a) + 3(x+b) = 4x – a + 3b \)
- \(x-a < 0, x+b \ge 0\) 일 때: \( A = -(x-a) + 3(x+b) = -x+a + 3x+3b = 2x + a + 3b \)
- \(x-a \ge 0, x+b < 0\) 일 때: \( A = (x-a) - 3(x+b) = x-a - 3x-3b = -2x - a - 3b \)
- \(x-a < 0, x+b < 0\) 일 때: \( A = -(x-a) - 3(x+b) = -x+a - 3x-3b = -4x + a - 3b \)
문제에서 잘못 계산한 결과가 \(2x + 11\) 이라고 했습니다. 이는 위 4가지 경우 중 경우 2에 해당합니다.
따라서 잘못된 계산은 \(A = 2x + a + 3b\) 로 이루어졌고, 이 결과가 \(2x + 11\) 과 같으므로 다음 등식을 얻습니다.
$$ a + 3b = 11 \quad \cdots ① $$
또한, 이 잘못된 계산은 \(x-a < 0\) 이고 \(x+b \ge 0\) 이라고 판단했을 때 나온 결과입니다. 그런데 문제에서 \(x-a\)의 부호를 잘못 보았다고 했으므로, 실제로는 \(x-a \ge 0\) 이어야 합니다. \(x+b\)의 부호에 대한 언급은 없으므로 올바르게 판단했다고 가정하면, 실제로는 \(x+b \ge 0\) 입니다.
Step 3: \(a, b\) 값 구하기
Step 2에서 얻은 식 ①과 문제에서 주어진 식 \(a+b=5\) (\(\cdots ②\))를 연립하여 풉니다.
식 ①에서 식 ②를 변변 뺍니다.
\( (a + 3b) – (a + b) = 11 – 5 \)
\( 2b = 6 \)
$$ b = 3 $$
구한 \(b=3\) 값을 식 ②에 대입합니다.
\( a + 3 = 5 \)
$$ a = 2 $$
따라서 \(a=2, b=3\) 입니다.
Step 4: 바르게 계산한 식 구하기
Step 2에서 분석했듯이, \(x-a\)의 부호를 잘못 봐서 경우 2로 계산했다는 것은, 실제 부호는 반대인 \(x-a \ge 0\) 이고, \(x+b\)의 부호는 올바르게 판단한 \(x+b \ge 0\) 이라는 의미입니다.
따라서 올바른 계산은 \(x-a \ge 0\) 이고 \(x+b \ge 0\) 인 경우 1에 해당합니다.
경우 1의 결과는 \( A = 4x – a + 3b \) 입니다.
이제 Step 3에서 구한 \(a=2, b=3\) 값을 이 식에 대입합니다.
$$ A = 4x – (2) + 3(3) $$
$$ A = 4x – 2 + 9 $$
$$ A = 4x + 7 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 제곱근의 성질 \( \sqrt{k^2}=|k| \) 를 이용하여 식을 절댓값으로 변환하고, 절댓값을 포함한 식의 계산 오류를 분석하여 원래의 값과 올바른 식을 추론하는 과정을 포함합니다.
- 절댓값 변환: \( \sqrt{(\cdot)^2} \) 형태는 반드시 \( |(\cdot)| \) 형태로 바꿉니다.
- 오류 분석: 주어진 잘못된 결과가 어떤 부호 판단 하에서 나왔는지를 역추적합니다. 이는 절댓값을 푸는 4가지 경우의 결과와 비교하여 알아낼 수 있습니다. 이를 통해 변수 간의 관계식을 얻을 수 있습니다.
- 조건 활용: 문제에서 주어진 추가 조건(\(a+b=5\))과 오류 분석을 통해 얻은 관계식을 연립하여 변수의 값을 확정합니다.
- 올바른 계산: 오류 정보를 바탕으로 올바른 부호 조건을 판단하고, 그 조건에 맞는 경우의 절댓값 풀이를 수행합니다. 확정된 변수 값을 대입하여 최종 결과를 구합니다.
계산 실수 정보를 이용하여 숨겨진 조건을 찾아내고, 연립방정식을 통해 변수 값을 구한 후 올바른 계산을 수행하는 논리적인 추론 과정이 필요합니다.
✅ 최종 정답
바르게 계산한 식은 \( 4x + 7 \) 입니다.