📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 어느 병원의 진료실과 주사실에 대한 정보를 바탕으로, 주사실 넓이의 최솟값을 구하는 문제입니다. 주어진 조건은 다음과 같습니다.
- (가) 진료실과 주사실 모두 정사각형 모양이고, 한 변의 길이는 자연수이다.
- (나) 진료실의 넓이는 \(18n\) 이다. (\(n\)은 자연수)
- (다) 주사실의 넓이는 \(14+n\) 이다.
풀이 전략은 다음과 같습니다.
- 조건 (가) 활용: 정사각형의 한 변의 길이가 자연수이므로, 그 넓이는 어떤 자연수의 제곱, 즉 완전제곱수여야 합니다.
- 진료실 조건 분석: 조건 (나)에 따라, 진료실 넓이 \(18n\)은 완전제곱수여야 합니다. 이 조건을 만족하는 자연수 \(n\)의 형태를 소인수분해를 이용하여 찾습니다.
- 주사실 조건 분석: 조건 (다)에 따라, 주사실 넓이 \(14+n\)은 완전제곱수여야 합니다. \(n\)이 자연수이므로 \(14+n\)은 14보다 큰 완전제곱수입니다. 이 조건을 만족하는 자연수 \(n\)의 값들을 찾습니다.
- 공통 \(n\) 찾기: 진료실 조건과 주사실 조건을 동시에 만족하는 자연수 \(n\)을 찾습니다.
- 주사실 넓이 최솟값 계산: 문제에서 주사실 넓이의 최솟값을 요구하므로, 조건을 만족하는 가장 작은 자연수 \(n\)을 이용하여 주사실의 넓이 \(14+n\)을 계산합니다.
핵심 개념:
- 정사각형의 넓이 = (한 변의 길이)², 한 변의 길이가 자연수이면 넓이는 완전제곱수.
- 어떤 수 \(N\)이 완전제곱수 \(\iff\) \(N\)을 소인수분해했을 때 모든 소인수의 지수가 짝수.
- \( \sqrt{N} \) 이 자연수 \(\iff\) \(N\)은 완전제곱수 (단, N > 0)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 조건 해석 및 수식화
조건 (가)에 의해 진료실과 주사실의 넓이는 모두 완전제곱수입니다.
- 진료실 넓이: \( 18n = k^2 \) (단, \(k\)는 자연수)
- 주사실 넓이: \( 14+n = m^2 \) (단, \(m\)은 자연수)
\(n\)은 자연수(\(n \ge 1\))입니다.
Step 2: 진료실 조건 분석 (\(18n = k^2\))
진료실 넓이 \(18n\)이 완전제곱수가 되어야 합니다.
18을 소인수분해하면 \( 18 = 2 \times 9 = 2^1 \times 3^2 \) 입니다.
따라서 \( 18n = 2^1 \times 3^2 \times n \) 입니다.
이것이 완전제곱수가 되려면 모든 소인수의 지수가 짝수여야 합니다.
- 소인수 3의 지수는 이미 2(짝수)입니다.
- 소인수 2의 지수는 1(홀수)입니다. 따라서 \(n\)은 반드시 \(2^1\) 인수를 가져야 2의 지수를 짝수로 만들 수 있습니다.
- \(n\)이 다른 소인수를 가진다면 그 지수도 짝수여야 합니다 (즉, 제곱수 형태).
결론적으로 \(n\)은 \( n = 2 \times (\text{자연수})^2 \) 꼴이어야 합니다.
가능한 \(n\) 값을 작은 것부터 나열하면:
$$ n = 2 \times 1^2 = 2 $$
$$ n = 2 \times 2^2 = 8 $$
$$ n = 2 \times 3^2 = 18 $$
$$ n = 2 \times 4^2 = 32 $$
…
가능한 \(n\)의 집합: {2, 8, 18, 32, …}
Step 3: 주사실 조건 분석 (\(14+n = m^2\))
주사실 넓이 \(14+n\)은 완전제곱수(\(m^2\))여야 합니다.
\(n\)은 자연수(\(n \ge 1\))이므로 \( 14+n \ge 14+1 = 15 \) 입니다.
따라서 \(m^2\)은 15 이상인 완전제곱수여야 합니다.
가능한 \(m^2\) 값을 작은 것부터 나열하면:
$$ 4^2 = 16 $$
$$ 5^2 = 25 $$
$$ 6^2 = 36 $$
$$ 7^2 = 49 $$
…
각 \(m^2\) 값에 대해 해당하는 자연수 \(n\) (\( n = m^2 – 14 \))을 구합니다:
- \( m^2 = 16 \implies n = 16 – 14 = 2 \)
- \( m^2 = 25 \implies n = 25 – 14 = 11 \)
- \( m^2 = 36 \implies n = 36 – 14 = 22 \)
- \( m^2 = 49 \implies n = 49 – 14 = 35 \)
- …
가능한 \(n\)의 집합: {2, 11, 22, 35, …}
Step 4: 두 조건을 동시에 만족하는 가장 작은 \(n\) 찾기
Step 2에서 구한 \(n\)의 집합 {2, 8, 18, 32, …} 과 Step 3에서 구한 \(n\)의 집합 {2, 11, 22, 35, …} 을 비교합니다.
두 집합에 공통으로 존재하는 가장 작은 자연수 \(n\)은 2입니다.
Step 5: 주사실 넓이의 최솟값 계산
주사실 넓이는 \(14+n\) 입니다.
주사실 넓이가 최소가 되려면, 두 조건을 모두 만족하는 \(n\) 중에서 가장 작은 값을 사용해야 합니다.
Step 4에서 구한 가장 작은 \(n\) 값은 2입니다.
따라서 주사실 넓이의 최솟값은 다음과 같습니다.
$$ \text{최소 넓이} = 14 + n = 14 + 2 = 16 $$
(이때 주사실 한 변의 길이는 \(\sqrt{16}=4\), 진료실 넓이는 \(18n = 18 \times 2 = 36\), 진료실 한 변의 길이는 \(\sqrt{36}=6\)으로 모두 자연수가 되어 모든 조건을 만족합니다.)
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 두 가지 조건을 동시에 만족시키는 자연수를 찾는 문제입니다. 각 조건은 제곱근 안의 값이 완전제곱수가 되어야 한다는 것으로 귀결됩니다.
- 완전제곱수 조건 활용: 정사각형의 넓이는 완전제곱수라는 성질을 이용하여 각 방의 넓이(\(18n\)과 \(14+n\))가 완전제곱수가 되어야 함을 파악합니다.
- \(18n = k^2\) 형태 분석: \(18\)을 소인수분해하여 \(n\)이 어떤 형태여야 하는지(\(n = 2 \times (\text{제곱수})\))를 찾습니다. 가능한 \(n\) 값을 나열합니다.
- \(14+n = m^2\) 형태 분석: \(n \ge 1\)이므로 \(14+n \ge 15\)임을 이용하여 \(14+n\)이 될 수 있는 완전제곱수(\(16, 25, 36, …\))를 찾고, 해당하는 \(n\) 값을 나열합니다.
- 공통 해 찾기: 두 조건을 모두 만족하는 \(n\) 값을 찾습니다. 문제에서 최솟값을 요구했으므로 가장 작은 공통 \(n\) 값을 찾습니다.
- 최종 값 계산: 찾은 \(n\) 값을 이용하여 문제에서 요구하는 값(주사실 넓이 \(14+n\))을 계산합니다.
소인수분해를 이용한 완전제곱수 조건 분석과 부등식을 이용한 범위 내 완전제곱수 찾기를 정확히 수행하는 것이 중요합니다.
✅ 최종 정답
주사실 넓이의 최솟값은 16 입니다.