📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 직사각형 모양의 종이에서 모서리를 잘라내어 상자를 만들었을 때, 상자의 부피를 구하는 문제입니다. 상자의 가로, 세로, 높이를 구하고, 부피를 구하는 공식을 이용하여 부피를 계산합니다. 그림을 통해 상자의 치수를 파악하고, 식을 세우는 것이 중요합니다.
- 상자의 치수 파악: 상자의 가로, 세로의 길이는 잘라낸 정사각형의 변의 길이를 고려하여 계산하고, 높이는 잘라낸 정사각형의 변의 길이와 같습니다.
- 부피 계산: 상자의 부피는 (가로) x (세로) x (높이) 이므로, 각 치수를 곱하여 부피를 구합니다.
- 전개 및 정리: 곱셈 공식을 이용하여 부피 식을 전개하고, 간단하게 정리합니다.
핵심 공식:
직육면체의 부피 = 가로 x 세로 x 높이
\((a+b)(a-b) = a^2 – b^2\) (합차 공식)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 상자의 치수 구하기
잘라낸 정사각형의 한 변의 길이는 2이므로, 상자의 높이는 2입니다.
상자의 밑면의 가로의 길이는 \(x+y – 2 – 2 = x+y-4\) 입니다.
상자의 밑면의 세로의 길이는 \(x-y – 2 – 2 = x-y-4\) 입니다.
Step 2: 부피 계산 및 식 정리
상자의 부피는 \(2(x+y-4)(x-y-4)\) 입니다.
편의상, \(x-4 = A\)라고 치환합니다. 그러면:
$$ 2(x+y-4)(x-y-4) = 2(A+y)(A-y) = 2(A^2 – y^2) $$
다시 \(A\)를 \(x-4\)로 대입합니다.
$$ = 2((x-4)^2 – y^2) = 2(x^2 – 8x + 16 – y^2) $$
식을 정리합니다.
$$ = 2x^2 – 16x + 32 – 2y^2 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 도형의 성질을 이용하여 부피를 구하는 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 도형의 특징 파악: 상자의 가로, 세로, 높이를 그림을 보고 정확하게 파악합니다.
- 부피 계산: 직육면체의 부피 공식을 이용하여 부피를 계산합니다.
- 식의 전개 및 정리: 곱셈 공식을 이용하여 식을 전개하고, 간단하게 정리합니다.
- 치환: 복잡한 식을 간단하게 만들기 위해 치환을 활용합니다.
이 문제에서는 상자의 치수를 구하고, 부피를 계산한 후, 곱셈 공식을 이용하여 식을 전개하고 정리했습니다. 도형의 특징을 파악하고, 식을 세우고, 계산하는 과정을 정확하게 수행해야 합니다.
✅ 최종 정답
\(2x^2 – 16x + 32 – 2y^2\)