📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 주어진 식 \(\left(\frac{1}{2}x – 5y\right)^2\)과 동일한 전개식을 갖는 보기를 찾는 문제입니다. 두 가지 주요 전략이 있습니다.
- 전략 1: 인수분해 활용 (해설 방식): 주어진 식의 괄호 안에서 공통 인수를 묶어낸 후, 지수 법칙을 적용하여 보기와 같은 형태로 변형합니다.
- 전략 2: 완전제곱식 전개: 주어진 식과 모든 보기의 식을 완전제곱 공식을 이용하여 전개한 후, 결과가 동일한 보기를 찾습니다.
전략 1이 더 간결하므로, 이 방법을 우선적으로 사용합니다.
관련 공식:
- 지수 법칙: \((ab)^n = a^n b^n\)
- 완전제곱 공식: \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\)
✅ 단계별 풀이 과정 (전략 1: 인수분해 활용)
Step 1: 주어진 식 확인
주어진 식은 다음과 같습니다.
$$ \left(\frac{1}{2}x – 5y\right)^2 $$
Step 2: 괄호 안에서 공통 인수 묶어내기
괄호 안의 항 \(\frac{1}{2}x\) 와 \(-5y\) 에서 공통 인수 \(\frac{1}{2}\)를 묶어낼 수 있습니다.
\(-5y\)를 \(\frac{1}{2}\)로 묶어내려면 \(-5y = \frac{1}{2} \times (-10y)\) 로 생각해야 합니다.
$$ \frac{1}{2}x – 5y = \frac{1}{2}x – \frac{1}{2}(10y) $$
이제 \(\frac{1}{2}\)을 묶어냅니다.
$$ = \frac{1}{2}(x – 10y) $$
Step 3: 지수 법칙 적용
Step 2에서 묶어낸 식을 원래 식의 괄호 안에 대입합니다.
$$ \left(\frac{1}{2}x – 5y\right)^2 = \left\{ \frac{1}{2}(x – 10y) \right\}^2 $$
지수 법칙 \((ab)^2 = a^2 b^2\)를 적용합니다. 여기서 \(a = \frac{1}{2}\), \(b = (x – 10y)\)입니다.
$$ = \left(\frac{1}{2}\right)^2 (x – 10y)^2 $$
계산하면,
$$ = \frac{1}{4} (x – 10y)^2 $$
Step 4: 보기와 비교
Step 3에서 얻은 결과 \(\frac{1}{4}(x – 10y)^2\)는 보기 ②와 정확히 일치합니다.
✅ 단계별 풀이 과정 (전략 2: 완전제곱식 전개 – 검산용)
Step 1′: 주어진 식 전개
\(\left(\frac{1}{2}x – 5y\right)^2\) 를 \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\) 공식을 이용하여 전개합니다.
$$ = \left(\frac{1}{2}x\right)^2 – 2\left(\frac{1}{2}x\right)(5y) + (5y)^2 $$
$$ = \frac{1}{4}x^2 – 5xy + 25y^2 $$
Step 2′: 보기 ② 전개
\(\frac{1}{4}(x – 10y)^2\) 를 \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\) 공식을 이용하여 전개합니다.
$$ = \frac{1}{4} \{ x^2 – 2(x)(10y) + (10y)^2 \} $$
$$ = \frac{1}{4} (x^2 – 20xy + 100y^2) $$
분배법칙을 적용합니다.
$$ = \frac{1}{4}x^2 – \frac{20}{4}xy + \frac{100}{4}y^2 $$
$$ = \frac{1}{4}x^2 – 5xy + 25y^2 $$
Step 1’의 결과와 동일함을 확인할 수 있습니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 다항식의 인수분해와 지수 법칙, 또는 완전제곱식의 전개를 정확하게 할 수 있는지를 묻는 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 공통 인수 묶어내기: 다항식의 각 항에 공통으로 곱해진 인수(숫자 또는 문자)를 괄호 밖으로 묶어내는 기본적인 인수분해 방법입니다.
- 지수 법칙: 곱의 거듭제곱은 각 인수의 거듭제곱의 곱과 같습니다 (\((ab)^n = a^n b^n\)).
- 완전제곱 공식: \((a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2\) 공식을 이용하여 식을 전개할 수 있습니다.
두 가지 방법 모두 정답을 찾는 데 사용될 수 있지만, 괄호 안에서 공통 인수를 묶어내는 방법(전략 1)이 계산 과정을 더 간결하게 만들어 줄 수 있습니다.
✅ 최종 정답
② \(\frac{1}{4}(x – 10y)^2\)