📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 주어진 완전제곱식 \((ax + 3b)^2\)을 전개했을 때 \(x^2\)의 계수와 상수항이 특정 값(각각 4와 1)이 된다는 조건을 이용하여, \(x\)의 계수를 구하는 문제입니다. (단, \(a, b\)는 양수)
- 완전제곱식 전개: 완전제곱 공식 \((A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2\)를 이용하여 \((ax + 3b)^2\)을 전개합니다.
- 계수 및 상수항 비교: 전개한 식의 \(x^2\)의 계수와 상수항을 문제에서 주어진 값(4와 1)과 각각 같다고 놓고 \(a\)와 \(b\)에 대한 방정식을 세웁니다.
- \(a, b\) 값 구하기: 세워진 방정식을 풀어 \(a\)와 \(b\)의 값을 구합니다. 이때, \(a, b\)가 양수라는 조건을 이용하여 가능한 값 중에서 양수 값을 선택합니다.
- \(x\)의 계수 계산: 전개한 식에서 \(x\)의 계수를 \(a\)와 \(b\)로 표현된 식으로 찾고, Step 3에서 구한 \(a, b\) 값을 대입하여 최종 답을 계산합니다.
완전제곱 공식:
$$ (A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 $$
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: \((ax + 3b)^2\) 전개하기
완전제곱 공식을 적용합니다. 여기서 \(A = ax\), \(B = 3b\)입니다.
$$ (ax + 3b)^2 = (ax)^2 + 2(ax)(3b) + (3b)^2 $$
각 항을 계산합니다.
$$ = a^2x^2 + 6abx + 9b^2 $$
Step 2: 계수 및 상수항 비교하여 방정식 설정
전개한 식 \(a^2x^2 + 6abx + 9b^2\)에서 각 항의 계수 및 상수항은 다음과 같습니다.
- \(x^2\)의 계수: \(a^2\)
- \(x\)의 계수: \(6ab\)
- 상수항: \(9b^2\)
문제에서 \(x^2\)의 계수가 4이고, 상수항이 1이라고 주어졌으므로 다음 두 방정식을 세울 수 있습니다.
$$ a^2 = 4 \quad \cdots (1) $$
$$ 9b^2 = 1 \quad \cdots (2) $$
Step 3: \(a, b\) 값 구하기
방정식 (1) \(a^2 = 4\)에서 \(a\)는 \(2\) 또는 \(-2\)입니다.
문제에서 \(a\)는 양수라고 했으므로, \(a = 2\)입니다.
방정식 (2) \(9b^2 = 1\)에서 \(b^2 = \frac{1}{9}\)이므로, \(b\)는 \(\frac{1}{3}\) 또는 \(-\frac{1}{3}\)입니다.
문제에서 \(b\)는 양수라고 했으므로, \(b = \frac{1}{3}\)입니다.
따라서 \(a = 2\)이고 \(b = \frac{1}{3}\)입니다.
Step 4: \(x\)의 계수 계산
Step 1에서 전개한 식의 \(x\)의 계수는 \(6ab\)입니다.
Step 3에서 구한 \(a=2\)와 \(b=\frac{1}{3}\)을 대입하여 \(x\)의 계수를 계산합니다.
$$ x \text{의 계수} = 6ab = 6 \times (2) \times \left(\frac{1}{3}\right) $$
$$ = 6 \times \frac{2}{3} = 2 \times 2 = 4 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 완전제곱 공식을 이용한 다항식 전개와 계수 비교법을 통해 미지수의 값을 찾는 기본적인 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 완전제곱 공식: \((A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2\) 공식을 정확하게 적용하여 다항식을 전개할 수 있어야 합니다.
- 다항식의 계수와 상수항: 전개된 다항식에서 특정 차수의 항의 계수(문자 앞에 곱해진 숫자)와 상수항(문자를 포함하지 않는 항)을 식별할 수 있어야 합니다.
- 계수 비교법: 두 다항식의 전개식이 같다는 것은 각 차수의 계수와 상수항이 각각 모두 같다는 것을 의미합니다. 이를 이용하여 미지수에 대한 방정식을 세울 수 있습니다.
- 제곱근 계산: \(a^2 = k\) (\(k>0\)) 형태의 방정식의 해는 \(a = \pm \sqrt{k}\)임을 알고, 문제에서 주어진 조건(양수)에 맞는 해를 선택해야 합니다.
완전제곱 공식을 정확히 적용하여 전개하고, 주어진 계수 및 상수항 정보를 이용하여 방정식을 세워 미지수를 구하는 단계적인 풀이가 필요합니다.
✅ 최종 정답
\(x\)의 계수는 \(4\)입니다.