📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 제시된 5개의 다항식 전개 결과 중, 잘못 전개된 것을 찾는 문제입니다. 각 보기에 사용된 다항식 곱셈 공식(완전제곱 공식, 합차 공식, 일반적인 두 일차식의 곱 등)을 정확히 적용하여 전개 결과가 맞는지 확인하는 전략을 사용합니다.
- 각 보기 확인: 1번부터 5번까지 각 보기의 좌변을 직접 전개하여 우변과 일치하는지 확인합니다.
- 곱셈 공식 적용: 각 보기에 맞는 곱셈 공식을 정확하게 적용합니다.
- 완전제곱 공식: \((a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2\) (보기 ①, ②)
- 합차 공식: \((a – b)(a + b) = a^2 – b^2\) (보기 ③)
- 두 일차식의 곱: \((ax+b)(cx+d) = acx^2 + (ad+bc)x + bd\) (보기 ④, ⑤)
- 오류 찾기: 전개 결과가 우변과 다른 보기를 찾아 답으로 선택합니다.
✅ 단계별 보기 분석
① \((a+5)^2 = a^2 + 10a + 25\)
완전제곱 공식 \((A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2\)를 적용합니다. \(A=a, B=5\).
$$ (a+5)^2 = (a)^2 + 2(a)(5) + (5)^2 = a^2 + 10a + 25 $$
우변과 일치합니다. (옳음)
② \((2x+5)^2 = 4x^2 + 10x + 25\)
완전제곱 공식 \((A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2\)를 적용합니다. \(A=2x, B=5\).
$$ (2x+5)^2 = (2x)^2 + 2(2x)(5) + (5)^2 = 4x^2 + 20x + 25 $$
우변의 \(x\)의 계수가 10x로 잘못되었습니다. (올바른 계수는 20x)
(틀림)
③ \((2x-2)(2x+2) = 4x^2 – 4\)
합차 공식 \((A-B)(A+B) = A^2 – B^2\)를 적용합니다. \(A=2x, B=2\).
$$ (2x-2)(2x+2) = (2x)^2 – (2)^2 = 4x^2 – 4 $$
우변과 일치합니다. (옳음)
(다른 방법: 공통인수 2를 묶어내면 \(2(x-1) \cdot 2(x+1) = 4(x-1)(x+1) = 4(x^2 – 1) = 4x^2 – 4\))
④ \((2x-5)(5x-2) = 10x^2 – 29x + 10\)
두 일차식의 곱 공식을 적용하거나 분배법칙을 이용합니다.
$$ (2x-5)(5x-2) = (2x)(5x) + (2x)(-2) + (-5)(5x) + (-5)(-2) $$
$$ = 10x^2 – 4x – 25x + 10 $$
$$ = 10x^2 – 29x + 10 $$
우변과 일치합니다. (옳음)
⑤ \(\left(x-\frac{2}{5}\right)\left(x+\frac{4}{5}\right) = x^2 + \frac{2}{5}x – \frac{8}{25}\)
두 일차식의 곱 공식 \((x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab\)를 적용합니다. \(a = -\frac{2}{5}, b = \frac{4}{5}\).
$$ \left(x-\frac{2}{5}\right)\left(x+\frac{4}{5}\right) = x^2 + \left(-\frac{2}{5} + \frac{4}{5}\right)x + \left(-\frac{2}{5}\right)\left(\frac{4}{5}\right) $$
$$ = x^2 + \left(\frac{2}{5}\right)x – \frac{8}{25} $$
우변과 일치합니다. (옳음)
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 기본적인 다항식 곱셈 공식을 정확하게 적용할 수 있는지 확인하는 문제입니다. 자주 사용되는 공식은 다음과 같습니다.
- 완전제곱 공식:
- \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
- \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\)
- 합차 공식:
- \((a+b)(a-b) = a^2 – b^2\)
- 두 일차식의 곱:
- \((x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab\)
- \((ax+b)(cx+d) = acx^2 + (ad+bc)x + bd\) (또는 분배법칙 사용)
- 분배법칙: 모든 항을 빠짐없이 곱하여 더하는 기본 원리입니다. 복잡한 식은 분배법칙을 차례로 적용하여 전개할 수 있습니다.
각 공식을 정확히 암기하고, 특히 계수와 부호를 주의 깊게 계산하는 연습이 필요합니다.
✅ 최종 정답
바르게 전개되지 않은 것은 ②번입니다.
② \((2x+5)^2 = 4x^2 + 10x + 25\) (오류)