📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 가로와 세로의 길이가 각각 \(x, y\)에 대한 다항식으로 주어진 직사각형의 넓이를 구하는 문제입니다. 직사각형의 넓이는 (가로) × (세로)이므로, 두 다항식의 곱셈을 수행하면 됩니다.
- 넓이 공식 적용: 직사각형 넓이 = (가로) × (세로) 공식을 적용하여 곱셈식을 세웁니다.
- 다항식 곱셈 수행 (분배법칙): 첫 번째 다항식의 각 항과 두 번째 다항식의 각 항을 모두 빠짐없이 곱하여 전개합니다.
- 동류항 정리: 전개된 식에서 문자와 차수가 같은 항(동류항)끼리 계수를 더하거나 빼서 식을 간단하게 정리합니다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 넓이 식 세우기
직사각형의 가로 길이는 \(4x + 3y\)이고, 세로 길이는 \(-3x + 2y + 1\)입니다.
넓이는 두 길이의 곱이므로 다음과 같습니다.
$$ \text{넓이} = (4x + 3y)(-3x + 2y + 1) $$
Step 2: 다항식 곱셈 수행 (분배법칙 적용)
첫 번째 괄호의 각 항(\(4x\)와 \(3y\))을 두 번째 괄호의 각 항(\(-3x, 2y, 1\))에 분배하여 곱합니다.
먼저 \(4x\)를 분배합니다:
$$ 4x(-3x + 2y + 1) = (4x)(-3x) + (4x)(2y) + (4x)(1) $$
$$ = -12x^2 + 8xy + 4x $$
다음으로 \(3y\)를 분배합니다:
$$ 3y(-3x + 2y + 1) = (3y)(-3x) + (3y)(2y) + (3y)(1) $$
$$ = -9xy + 6y^2 + 3y $$
이제 이 두 결과를 더합니다.
$$ \text{넓이} = (-12x^2 + 8xy + 4x) + (-9xy + 6y^2 + 3y) $$
Step 3: 동류항 정리
Step 2에서 전개된 식에서 문자와 차수가 같은 동류항을 찾아 계산합니다.
\(xy\) 항: \(8xy\)와 \(-9xy\)가 있습니다. \(8xy – 9xy = -xy\)
다른 항들은 동류항이 없습니다.
모든 항을 내림차순(일반적으로 \(x\)에 대해, 그 다음 \(y\)) 또는 보기 좋은 순서로 정리합니다.
$$ \text{넓이} = -12x^2 – xy + 4x + 6y^2 + 3y $$
(해설 이미지와 동일한 순서로 정리했습니다.)
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 다항식의 곱셈, 특히 분배법칙을 정확하게 적용하여 전개하고 동류항을 정리하는 기본적인 연산 능력을 평가합니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 직사각형 넓이 공식: 넓이 = 가로 × 세로.
- 분배법칙: \((a+b)(c+d+e) = a(c+d+e) + b(c+d+e) = ac + ad + ae + bc + bd + be\). 즉, 한 괄호 안의 모든 항을 다른 괄호 안의 모든 항과 빠짐없이 곱하여 더합니다.
- 동류항: 문자와 차수가 각각 같은 항. 동류항끼리는 계수를 더하거나 빼서 간단히 할 수 있습니다. (\(8xy – 9xy = (8-9)xy = -xy\))
- 다항식 정리: 전개된 다항식은 특정 문자에 대해 차수가 높은 항부터 낮은 항 순서로(내림차순) 정리하거나, 문제의 답 형태에 맞춰 보기 좋게 정리합니다.
다항식의 곱셈은 이후 인수분해, 방정식, 함수 등 다양한 수학 분야의 기초가 되므로 정확하고 신속하게 계산하는 연습이 중요합니다.
✅ 최종 정답
\(-12x^2 – xy + 4x + 6y^2 + 3y\)