📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 제시된 5개의 다항식 곱셈 결과 중, 잘못된 것을 찾는 문제입니다. 대부분의 보기가 합차 공식 \((A+B)(A-B) = A^2 – B^2\) 또는 이와 유사한 형태를 띄고 있으므로, 이 공식을 정확히 적용하는 것이 중요합니다.
- 각 보기 확인: 1번부터 5번까지 각 보기의 좌변을 곱셈 공식을 이용하여 전개하고, 우변과 일치하는지 확인합니다.
- 합차 공식 적용: \((A+B)(A-B)\) 형태인지 확인하고, 맞다면 \(A^2 – B^2\) 공식을 적용합니다. 항의 순서가 다르거나 부호가 다른 경우, 식을 적절히 변형하여 합차 공식을 적용할 수 있는지 살펴봅니다.
- 오류 찾기: 전개 결과가 우변과 다른 보기를 찾아 답으로 선택합니다.
합차 공식:
$$ (A+B)(A-B) = A^2 – B^2 $$
✅ 단계별 보기 분석
① \((x+1)(x-1) = x^2 – 1\)
합차 공식을 적용합니다. \(A=x, B=1\).
$$ (x+1)(x-1) = (x)^2 – (1)^2 = x^2 – 1 $$
우변과 일치합니다. (옳음)
② \((-3+x)(-3-x) = 9 – x^2\)
합차 공식을 적용합니다. \(A=-3, B=x\).
$$ (-3+x)(-3-x) = (-3)^2 – (x)^2 = 9 – x^2 $$
우변과 일치합니다. (옳음)
(다른 방법: \((-3+x) = -(3-x)\), \((-3-x) = -(3+x)\). 따라서 \((-3+x)(-3-x) = \{-(3-x)\}\{-(3+x)\} = (3-x)(3+x) = 3^2 – x^2 = 9 – x^2\))
③ \((-5a+2)(5a+2) = -25a^2 + 4\)
합차 공식을 적용하기 위해 덧셈의 교환법칙을 이용하여 항의 순서를 바꿉니다: \((2-5a)(2+5a)\).
합차 공식을 적용합니다. \(A=2, B=5a\).
$$ (2-5a)(2+5a) = (2)^2 – (5a)^2 = 4 – 25a^2 $$
우변(\(-25a^2 + 4\))과 일치합니다. (옳음)
④ \((-x-2y)(x-2y) = 4y^2 – x^2\)
첫 번째 괄호에서 -1을 묶어냅니다: \(-(x+2y)(x-2y)\).
괄호 안의 식에 합차 공식을 적용합니다. \(A=x, B=2y\).
$$ -( (x)^2 – (2y)^2 ) = -(x^2 – 4y^2) $$
괄호를 풀어줍니다.
$$ = -x^2 + 4y^2 = 4y^2 – x^2 $$
우변과 일치합니다. (옳음)
(다른 방법: \((-x-2y) = -(x+2y)\)이고, \((x-2y)\)입니다. 합차 공식을 바로 적용할 수 없습니다. 하지만, \((-x-2y) = (-2y-x)\)이고 \((x-2y) = (-2y+x)\)로 보면 합차 공식을 적용할 수 있습니다. \(A=-2y, B=x\). \((-2y-x)(-2y+x) = (-2y)^2 – (x)^2 = 4y^2 – x^2\))
⑤ \(\left(\frac{1}{5}y + \frac{1}{4}\right)\left(\frac{1}{5}y – \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{25}y^2 + \frac{1}{16}\)
합차 공식을 적용합니다. \(A=\frac{1}{5}y, B=\frac{1}{4}\).
$$ \left(\frac{1}{5}y + \frac{1}{4}\right)\left(\frac{1}{5}y – \frac{1}{4}\right) = \left(\frac{1}{5}y\right)^2 – \left(\frac{1}{4}\right)^2 $$
$$ = \frac{1}{25}y^2 – \frac{1}{16} $$
우변의 상수항 부호가 +로 잘못되었습니다. (올바른 부호는 -)
(틀림)
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 합차 공식 \((A+B)(A-B) = A^2 – B^2\) 을 다양한 형태로 변형된 식에 정확하게 적용할 수 있는지를 확인하는 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 합차 공식의 기본 형태: 두 항의 합과 차의 곱은 각 항의 제곱의 차와 같습니다.
- 항의 순서 변경: 덧셈은 교환법칙이 성립하므로, \((B+A)(A-B)\) 와 같이 순서가 바뀌어도 \(A=A, B=B\)로 보고 \(A^2 – B^2\)를 적용할 수 있습니다. (\((2-5a)(2+5a)\) 경우)
- 공통 부호 묶어내기: 각 괄호에서 공통 부호(예: -1)를 묶어내어 합차 공식을 적용하기 쉬운 형태로 변형할 수 있습니다. (\((-3+x)(-3-x)\) 또는 \((-x-2y)(x-2y)\) 경우)
- 부호 확인: 합차 공식의 결과는 항상 \((\text{앞 항})^2 – (\text{뒤 항})^2\) 이므로, 부호를 정확히 확인해야 합니다. (⑤번 보기의 오류)
다항식 곱셈, 특히 합차 공식은 인수분해, 분모 유리화 등 다양한 영역에서 활용되므로 정확하게 익혀두는 것이 매우 중요합니다.
✅ 최종 정답
옳지 않은 것은 ⑤번입니다.
⑤ \(\left(\frac{1}{5}y + \frac{1}{4}\right)\left(\frac{1}{5}y – \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{25}y^2 + \frac{1}{16}\) (오류)