📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 세 개의 이항식 \((x-1)(x+1)(x^2+1)\)을 전개하는 문제입니다. 처음 두 항 \((x-1)(x+1)\)이 합차 공식 \((A-B)(A+B) = A^2 – B^2\)의 형태임을 이용하여 단계적으로 전개하는 전략을 사용합니다.
- 합차 공식 적용 (1단계): 처음 두 인수 \((x-1)(x+1)\)에 합차 공식을 적용하여 간단히 합니다.
- 합차 공식 적용 (2단계): 1단계 결과와 마지막 인수 \((x^2+1)\)의 곱이 다시 합차 공식 \((A-B)(A+B)\) 형태임을 확인하고, 공식을 적용하여 최종 결과를 얻습니다.
합차 공식:
$$ (A – B)(A + B) = A^2 – B^2 $$
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 처음 두 인수 \((x-1)(x+1)\) 전개
주어진 식은 \((x-1)(x+1)(x^2+1)\) 입니다.
앞의 두 인수 \((x-1)(x+1)\)은 합차 공식 \((A-B)(A+B) = A^2 – B^2\)의 형태입니다. 여기서 \(A=x, B=1\)입니다.
$$ (x-1)(x+1) = (x)^2 – (1)^2 = x^2 – 1 $$
Step 2: 1단계 결과와 나머지 인수 곱하기
Step 1의 결과를 원래 식에 대입하면 다음과 같습니다.
$$ (x-1)(x+1)(x^2+1) = (x^2 – 1)(x^2 + 1) $$
Step 3: 합차 공식 다시 적용
식 \((x^2 – 1)(x^2 + 1)\)은 다시 합차 공식 \((A-B)(A+B) = A^2 – B^2\)의 형태입니다.
여기서는 \(A = x^2\), \(B = 1\)입니다.
$$ (x^2 – 1)(x^2 + 1) = (x^2)^2 – (1)^2 $$
지수 법칙 \((a^m)^n = a^{mn}\)을 적용하여 계산합니다.
$$ = x^{2 \times 2} – 1 = x^4 – 1 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 합차 공식 \((A-B)(A+B) = A^2 – B^2\) 을 반복적으로 적용하여 다항식을 효율적으로 전개하는 능력을 평가합니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 합차 공식: 두 항의 합과 차의 곱은 각 항의 제곱의 차와 같습니다. 이 공식을 인식하고 적용하는 것이 중요합니다.
- 단계적 전개: 여러 개의 인수가 곱해진 경우, 계산하기 편리한 순서대로 두 개씩 짝지어 곱셈 공식을 적용하면 과정을 단순화할 수 있습니다.
- 지수 법칙: 거듭제곱의 거듭제곱은 지수의 곱과 같습니다 (\((a^m)^n = a^{mn}\)).
이 형태(\((x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)\dots\))는 합차 공식을 연쇄적으로 적용하는 대표적인 예시입니다.
✅ 최종 정답
\(x^4 – 1\)