📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 먼저 두 일차식의 곱 \((x-a)(x+6)\)을 전개한 결과가 \(x^2 – bx – 42\)와 같다는 항등식 조건을 이용하여 상수 \(a, b\)의 값을 구하고, 이 \(a, b\) 값을 이용하여 빗변과 밑변의 길이가 주어진 직각삼각형의 높이를 계산한 후 넓이를 구하는 복합적인 문제입니다.
- 다항식 전개: \((x-a)(x+6)\)을 두 일차식의 곱셈 공식을 이용하여 전개합니다.
- 계수 비교 (\(a, b\) 값 구하기): 전개한 결과와 주어진 식 \(x^2 – bx – 42\)의 계수 및 상수항을 비교하여 \(a\)와 \(b\)의 값을 구합니다.
- 직각삼각형 변 길이 계산: 구한 \(a, b\) 값을 이용하여 직각삼각형의 빗변 길이(\(a+b\))와 밑변 길이(\(a-b\))를 계산합니다.
- 높이 계산 (피타고라스 정리): 직각삼각형에서 피타고라스 정리를 이용하여 높이를 계산합니다. \((\text{높이})^2 = (\text{빗변})^2 – (\text{밑변})^2\)
- 넓이 계산: 직각삼각형의 넓이 공식을 이용하여 넓이를 계산합니다. \((\text{넓이}) = \frac{1}{2} \times (\text{밑변}) \times (\text{높이})\)
관련 공식:
- 두 일차식의 곱: \((x+A)(x+B) = x^2 + (A+B)x + AB\)
- 피타고라스 정리: \(c^2 = a^2 + b^2\) (빗변이 \(c\))
- 직각삼각형 넓이: \(\frac{1}{2} \times (\text{밑변}) \times (\text{높이})\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: \((x-a)(x+6)\) 전개하기
두 일차식의 곱 공식을 적용합니다. \(A = -a\), \(B = 6\)으로 생각합니다.
$$ (x-a)(x+6) = x^2 + (-a + 6)x + (-a)(6) $$
$$ = x^2 + (6-a)x – 6a $$
Step 2: 계수 비교하여 \(a, b\) 값 구하기
Step 1의 전개 결과 \(x^2 + (6-a)x – 6a\) 와 문제에서 주어진 \(x^2 – bx – 42\) 가 같아야 합니다.
각 항의 계수와 상수항을 비교합니다.
- \(x^2\)의 계수: 1 = 1 (일치 확인)
- \(x\)의 계수: \(6 – a = -b\)
- 상수항: \(-6a = -42\)
상수항 비교로부터 \(a\) 값을 구합니다.
$$ -6a = -42 \implies a = \frac{-42}{-6} = 7 $$
구한 \(a = 7\)을 \(x\)의 계수 비교 식에 대입하여 \(b\) 값을 구합니다.
$$ 6 – a = -b \implies 6 – 7 = -b $$
$$ -1 = -b \implies b = 1 $$
따라서 \(a = 7\)이고 \(b = 1\)입니다.
Step 3: 직각삼각형의 변 길이 계산
직각삼각형의 빗변 길이는 \(a+b\)이고 밑변 길이는 \(a-b\)입니다.
Step 2에서 구한 \(a=7, b=1\)을 대입합니다.
$$ \text{빗변 길이} = a + b = 7 + 1 = 8 $$
$$ \text{밑변 길이} = a – b = 7 – 1 = 6 $$
Step 4: 직각삼각형의 높이 계산 (피타고라스 정리)
직각삼각형에서 \((\text{빗변})^2 = (\text{밑변})^2 + (\text{높이})^2\)입니다. 따라서,
$$ (\text{높이})^2 = (\text{빗변})^2 – (\text{밑변})^2 $$
계산된 변의 길이를 대입합니다.
$$ (\text{높이})^2 = 8^2 – 6^2 = 64 – 36 = 28 $$
높이는 양수이므로,
$$ \text{높이} = \sqrt{28} = \sqrt{4 \times 7} = 2\sqrt{7} $$
Step 5: 직각삼각형의 넓이 계산
직각삼각형의 넓이 공식을 이용합니다.
$$ \text{넓이} = \frac{1}{2} \times (\text{밑변}) \times (\text{높이}) $$
계산된 밑변 길이와 높이를 대입합니다.
$$ \text{넓이} = \frac{1}{2} \times 6 \times 2\sqrt{7} $$
$$ = 6\sqrt{7} $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 다항식의 전개와 계수 비교법을 이용하여 미지수 \(a, b\)를 구하고, 그 결과를 직각삼각형의 변의 길이에 적용하여 피타고라스 정리와 삼각형 넓이 공식을 통해 최종 답을 구하는 복합적인 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 두 일차식의 곱: \((x+A)(x+B) = x^2 + (A+B)x + AB\) 공식을 정확히 적용합니다.
- 계수 비교법: 두 다항식이 항등적으로 같으면 각 차수의 계수와 상수항이 서로 같다는 성질을 이용하여 미지수를 구합니다.
- 피타고라스 정리: 직각삼각형에서 세 변의 길이 사이의 관계 (\(a^2 + b^2 = c^2\))를 이용하여 모르는 변의 길이를 계산합니다.
- 직각삼각형의 넓이: 넓이 = \(\frac{1}{2} \times (\text{밑변}) \times (\text{높이})\). (직각을 낀 두 변을 밑변과 높이로 생각하면 됩니다.)
대수 파트(다항식 전개, 계수 비교)와 기하 파트(피타고라스 정리, 넓이 계산)를 순차적으로 연결하여 해결하는 능력이 요구됩니다.
✅ 최종 정답
\(6\sqrt{7}\)