문제
다항식 \( (x + 3y)(Ax + 2y) \)를 전개한 식이 \( 2x^2 + Bxy + 6y^2 \)일 때,
상수 \( A, B \)에 대하여 \( A + B \)의 값을 구하여라.
풀이
📘 Step 1. 전개하기
먼저 \( (x + 3y)(Ax + 2y) \)를 전개해 보자.
분배법칙을 적용하면 아래와 같다:
\[ (x + 3y)(Ax + 2y) = x(Ax + 2y) + 3y(Ax + 2y) \]
\[ = Ax^2 + 2xy + 3Axy + 6y^2 \]
\[ = Ax^2 + (2 + 3A)xy + 6y^2 \]
✅ Step 2. 항 비교하기
문제에서 이 전개식이 \( 2x^2 + Bxy + 6y^2 \)와 같다고 했으므로, 각 항의 계수를 비교해 보자.
- \( Ax^2 = 2x^2 \) 이므로 \( A = 2 \)
- \( (2 + 3A)xy = Bxy \) 이므로 \( B = 2 + 3A \)
따라서 \( B = 2 + 3 \cdot 2 = 8 \)
🧮 Step 3. A + B 값 구하기
\[ A + B = 2 + 8 = \boxed{10} \]
🧠 마무리 개념 정리
- 다항식 전개: \( (a + b)(c + d) \) 형태의 곱셈은 모든 항을 서로 곱한 뒤 정리하여 전개합니다.
- 항의 계수 비교: 전개한 다항식이 어떤 식과 같을 때는, 같은 항의 계수를 비교하여 미지수를 구할 수 있습니다.
- 중요: 항의 차수별로 같은 차수끼리만 비교해야 합니다. \( x^2 \), \( xy \), \( y^2 \)는 서로 다른 항입니다.