📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 주어진 두 일차식의 곱 \((10x+a)(14x-1)\)을 전개했을 때, \(x\)의 계수가 상수항보다 5만큼 크다는 조건을 이용하여 상수 \(a\)의 값을 구하는 문제입니다.
- 다항식 전개: 먼저 주어진 다항식 \((10x+a)(14x-1)\)을 분배법칙을 이용하여 전개합니다.
- 계수 및 상수항 확인: 전개한 식에서 \(x\)의 계수와 상수항을 \(a\)를 사용하여 나타냅니다.
- 방정식 설정: 문제의 조건 “\(x\)의 계수가 상수항보다 5만큼 크다”를 이용하여 \(a\)에 대한 방정식을 세웁니다.
- 방정식 풀이: 세운 방정식을 풀어 상수 \(a\)의 값을 구합니다.
핵심 원리: 다항식의 곱셈과 계수
- 다항식 곱셈 (분배법칙 또는 FOIL): \((A+B)(C+D) = AC + AD + BC + BD\)
- 동류항 정리: 전개 후 \(x^2\)항, \(x\)항, 상수항 등으로 묶어 정리합니다.
- 계수와 상수항: 다항식을 \(px^2 + qx + r\) 형태로 정리했을 때, \(q\)는 \(x\)의 계수, \(r\)은 상수항입니다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 다항식 전개
주어진 다항식 \((10x+a)(14x-1)\)을 전개합니다.
$$ (10x+a)(14x-1) = 10x(14x-1) + a(14x-1) $$
$$ = (10x \times 14x) + (10x \times -1) + (a \times 14x) + (a \times -1) $$
$$ = 140x^2 – 10x + 14ax – a $$
동류항(\(x\)항)을 묶어서 정리합니다.
$$ = 140x^2 + (-10 + 14a)x – a $$
Step 2: x의 계수와 상수항 확인
Step 1에서 전개한 식 \(140x^2 + (-10 + 14a)x – a\) 에서,
- \(x\)의 계수는 \((-10 + 14a)\) 입니다.
- 상수항은 \(-a\) 입니다.
Step 3: 조건에 따른 방정식 설정
문제의 조건은 “\(x\)의 계수가 상수항보다 5만큼 크다” 입니다.
이를 식으로 나타내면 다음과 같습니다.
$$ (x\text{의 계수}) = (\text{상수항}) + 5 $$
Step 2에서 확인한 계수와 상수항을 대입합니다.
$$ -10 + 14a = (-a) + 5 $$
Step 4: 상수 a 값 계산
Step 3에서 세운 \(a\)에 대한 일차방정식을 풉니다.
$$ -10 + 14a = -a + 5 $$
양변에 \(a\)를 더합니다.
$$ -10 + 14a + a = 5 $$
$$ -10 + 15a = 5 $$
양변에 10을 더합니다.
$$ 15a = 5 + 10 $$
$$ 15a = 15 $$
양변을 15로 나눕니다.
$$ a = \frac{15}{15} = 1 $$
따라서 상수 \(a\)의 값은 1입니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 다항식의 곱셈(전개)과 계수 비교 능력을 평가하는 기본적인 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 다항식 전개: 분배법칙을 정확하게 적용하여 모든 항을 곱하고 동류항끼리 정리할 수 있어야 합니다.
- 계수와 상수항의 의미: 전개된 다항식에서 특정 차수의 항 앞에 곱해진 숫자(계수)와 문자를 포함하지 않는 항(상수항)을 정확히 식별할 수 있어야 합니다.
- 조건을 방정식으로 변환: 문제에서 주어진 문장으로 된 조건 (“\(A\)가 \(B\)보다 \(k\)만큼 크다” \(\rightarrow A = B+k\))을 수학적인 등식으로 올바르게 표현하는 능력이 필요합니다.
- 일차방정식 풀이: 세워진 방정식을 이항과 계산을 통해 정확하게 풀 수 있어야 합니다.
실수를 줄이기 위해 전개 과정과 동류항 정리, 그리고 방정식을 세우는 과정에서 부호에 유의하는 것이 중요합니다.
✅ 최종 정답
③ \(1\)