📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 다항식 \(2x+a\)에 \(4x+3\)을 곱해야 하는데, 실수로 \(3x+4\)를 곱하여 \(6x^2 – 7x – 20\)이라는 결과를 얻었을 때, 원래 계산하려고 했던 올바른 답을 구하는 문제입니다.
- 잘못된 계산 분석: 주어진 잘못된 계산 결과 \( (2x+a)(3x+4) = 6x^2 – 7x – 20 \) 를 이용하여 상수 \(a\)의 값을 먼저 구합니다. 이를 위해 좌변을 전개하고 우변과 계수를 비교합니다 (항등식의 성질 이용).
- 상수 a 값 구하기: 잘못된 계산 식의 전개 결과와 주어진 결과 \(6x^2 – 7x – 20\)의 \(x\) 계수 또는 상수항을 비교하여 \(a\)에 대한 방정식을 세우고 풀어 \(a\) 값을 결정합니다.
- 바른 계산 수행: 구한 \(a\) 값을 원래 계산해야 했던 식 \( (2x+a)(4x+3) \)에 대입합니다.
- 최종 답 계산: \(a\) 값이 대입된 올바른 식을 전개하여 최종 답을 구합니다.
핵심 원리: 다항식 곱셈과 항등식
- 다항식 곱셈 (분배법칙): \((A+B)(C+D) = AC + AD + BC + BD\)
- 항등식의 성질 (계수 비교법): 두 다항식이 모든 \(x\) 값에 대해 동일하다면(항등식), 같은 차수의 항의 계수는 서로 같습니다. \(px^2 + qx + r = p’x^2 + q’x + r’\) 이 항등식이면 \(p=p’\), \(q=q’\), \(r=r’\) 입니다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 잘못된 계산식 전개 및 계수 비교 준비
문제에서 주어진 잘못된 계산은 \( (2x+a) \)에 \( (3x+4) \)를 곱한 것입니다. 이 식을 전개합니다.
$$ (2x+a)(3x+4) = 2x(3x+4) + a(3x+4) $$
$$ = 6x^2 + 8x + 3ax + 4a $$
동류항(\(x\)항)을 정리합니다.
$$ = 6x^2 + (8 + 3a)x + 4a $$
이 결과가 \( 6x^2 – 7x – 20 \)과 같다고 주어졌습니다.
$$ 6x^2 + (8 + 3a)x + 4a = 6x^2 – 7x – 20 $$
Step 2: 계수 비교를 통한 상수 a 값 구하기
Step 1에서 얻은 항등식의 양변에서 \(x\)의 계수와 상수항을 비교하여 \(a\) 값을 구합니다.
- \(x\) 계수 비교: \( 8 + 3a = -7 \)
- 상수항 비교: \( 4a = -20 \)
두 방정식 중 하나를 풀어서 \(a\)를 구합니다. 상수항 비교가 더 간단해 보입니다.
$$ 4a = -20 $$
$$ a = \frac{-20}{4} = -5 $$
이 값을 \(x\) 계수 비교식에 대입하여 확인합니다.
$$ 8 + 3(-5) = 8 – 15 = -7 $$
양쪽 모두 성립하므로, 상수 \(a\)의 값은 \(-5\)입니다.
Step 3: 바르게 계산해야 할 식 설정
원래 계산해야 했던 식은 \( (2x+a) \)에 \( (4x+3) \)을 곱하는 것이었습니다.
Step 2에서 구한 \( a = -5 \)를 대입하여 바른 식을 만듭니다.
$$ (2x + (-5))(4x + 3) = (2x – 5)(4x + 3) $$
Step 4: 바른 계산식 전개 및 최종 답 구하기
Step 3에서 설정한 바른 계산식 \( (2x – 5)(4x + 3) \)을 전개합니다.
$$ (2x – 5)(4x + 3) = 2x(4x+3) – 5(4x+3) $$
$$ = (8x^2 + 6x) – (20x + 15) $$
$$ = 8x^2 + 6x – 20x – 15 $$
동류항을 정리하여 최종 답을 얻습니다.
$$ = 8x^2 – 14x – 15 $$
따라서 바르게 계산한 답은 \(8x^2 – 14x – 15\) 입니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 주어진 상황을 정확히 이해하고, 다항식의 연산과 항등식의 성질을 순차적으로 적용하는 능력을 평가합니다.
- 문제 상황 이해: 올바른 계산과 잘못된 계산을 구분하고, 잘못된 계산 결과를 이용하여 미지수(\(a\))를 찾는 단서를 파악해야 합니다.
- 다항식 전개: 분배법칙을 이용하여 두 다항식의 곱을 정확하게 전개하고 동류항을 정리할 수 있어야 합니다.
- 항등식과 계수 비교법: 잘못된 계산의 결과가 특정 다항식과 같다는 것은 항등식을 의미하며, 이 성질을 이용하여 양변의 동차항 계수가 같다는 등식을 세워 미지수를 구할 수 있습니다.
- 단계적 해결: 문제에서 요구하는 최종 답을 구하기 위해, 먼저 미지수를 구하고 그 결과를 이용하여 다음 계산을 수행하는 단계적인 접근이 필요합니다.
특히, 계산 과정에서 부호를 틀리지 않도록 주의하고, 계수 비교를 통해 얻은 미지수 값이 모든 조건을 만족하는지 확인하는 것이 좋습니다.
✅ 최종 정답
바르게 계산한 답은 \(8x^2 – 14x – 15\) 입니다.