📘 문제 이해 및 풀이 전략
주어진 직육면체 전개도에서 마주 보는 면에 적힌 두 일차식의 곱을 각각 \(A, B, C\)라고 할 때, \(A + B + C\)를 계산하는 문제입니다.
풀이 전략은 다음과 같습니다.
- 마주 보는 면 찾기: 전개도를 접었을 때 서로 마주 보게 되는 면의 쌍을 찾습니다.
- \(A, B, C\) 계산: 각 쌍의 면에 적힌 두 일차식을 곱하여 \(A, B, C\)를 구합니다. 이 과정에서 다항식 곱셈(분배법칙, 곱셈 공식 등)을 사용합니다.
- \(A + B + C\) 계산: 구한 \(A, B, C\)를 모두 더하고 동류항끼리 정리하여 최종 답을 구합니다.
관련 공식 (곱셈 공식):
- \((x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab\)
- \((a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd\) (분배 법칙)
- \((a+b)(a-b) = a^2 – b^2\) (합차 공식)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 마주 보는 면 찾기
주어진 전개도를 접었을 때 마주 보는 면의 쌍은 다음과 같습니다.
- 윗면 (\(x+4\))과 아랫면 (\(x-4\))
- 왼쪽 면 (\(4x+5\))과 오른쪽 면 (\(1+2x\))
- 앞면 (\(x+3\))과 뒷면 (\(x-1\))
(전개도의 배치를 기준으로 설명합니다. 예를 들어, 가운데 줄의 4개 면을 옆면으로 생각하고 위, 아래 1개씩을 각각 윗면, 아랫면으로 간주합니다.)
Step 2: \(A\) 계산하기
윗면과 아랫면의 식을 곱하여 \(A\)를 구합니다.
$$ A = (x+4)(x-4) $$
합차 공식을 이용합니다.
$$ A = x^2 – 4^2 = x^2 – 16 $$
Step 3: \(B\) 계산하기
왼쪽 면과 오른쪽 면의 식을 곱하여 \(B\)를 구합니다.
$$ B = (4x+5)(1+2x) $$
분배 법칙(또는 FOIL)을 이용하여 전개합니다.
$$ B = 4x(1+2x) + 5(1+2x) $$
$$ = (4x + 8x^2) + (5 + 10x) $$
$$ = 8x^2 + (4x + 10x) + 5 $$
$$ B = 8x^2 + 14x + 5 $$
Step 4: \(C\) 계산하기
앞면과 뒷면의 식을 곱하여 \(C\)를 구합니다.
$$ C = (x+3)(x-1) $$
분배 법칙 또는 \((x+a)(x+b)\) 공식을 이용합니다.
$$ C = x(x-1) + 3(x-1) $$
$$ = (x^2 – x) + (3x – 3) $$
$$ = x^2 + (-x + 3x) – 3 $$
$$ C = x^2 + 2x – 3 $$
Step 5: \(A + B + C\) 계산하기
Step 2, 3, 4에서 구한 \(A, B, C\)를 모두 더합니다.
$$ A + B + C = (x^2 – 16) + (8x^2 + 14x + 5) + (x^2 + 2x – 3) $$
동류항끼리 묶어서 정리합니다.
\(x^2\) 항: \(x^2 + 8x^2 + x^2 = (1+8+1)x^2 = 10x^2\)
\(x\) 항: \(14x + 2x = (14+2)x = 16x\)
상수항: \(-16 + 5 – 3 = -11 – 3 = -14\)
따라서,
$$ A + B + C = 10x^2 + 16x – 14 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 직육면체 전개도의 구조를 파악하고 다항식의 곱셈 및 덧셈 연산을 수행하는 능력을 평가합니다.
- 전개도 이해: 주어진 전개도를 보고 입체도형을 만들었을 때 서로 마주 보는 면을 정확히 찾는 것이 중요합니다.
- 다항식 곱셈: 분배 법칙을 기본으로 하며, 합차 공식 \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)이나 \((x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab\) 등의 공식을 활용하면 계산을 효율적으로 할 수 있습니다.
- 다항식 덧셈: 여러 다항식을 더할 때는 동류항(문자와 차수가 같은 항)끼리 계수를 더하여 정리합니다.
✅ 최종 정답
\(A + B + C = 10x^2 + 16x – 14\)
\(10x^2 + 16x – 14\)