📘 문제 이해 및 풀이 전략
주어진 그림은 가로, 세로, 높이가 각각 \(x+3\), \(x-3\), \(3x-2\)인 직육면체입니다. 이 직육면체의 겉넓이를 구하는 문제입니다.
직육면체의 겉넓이는 6개의 면의 넓이를 모두 합한 값입니다. 직육면체는 마주 보는 면끼리 넓이가 같으므로, 서로 다른 3가지 종류의 면의 넓이를 각각 구하여 2배 한 후 모두 더하면 됩니다.
풀이 전략:
- 서로 다른 세 면의 넓이 계산:
- 밑면(윗면) 넓이: (가로) \(\times\) (세로) = \((x+3)(x-3)\)
- 앞면(뒷면) 넓이: (가로) \(\times\) (높이) = \((x+3)(3x-2)\)
- 옆면(옆면) 넓이: (세로) \(\times\) (높이) = \((x-3)(3x-2)\)
- 각 넓이 전개: 다항식 곱셈을 이용하여 각 면의 넓이를 전개합니다.
- 겉넓이 계산: 각 면의 넓이에 2를 곱한 후 모두 더하거나, 세 종류의 면 넓이를 먼저 더한 후 전체에 2를 곱합니다. \((\text{겉넓이}) = 2 \times (\text{밑면 넓이} + \text{앞면 넓이} + \text{옆면 넓이})\)
- 최종 정리: 계산된 겉넓이를 동류항끼리 정리하여 최종 답을 구합니다.
직육면체 겉넓이 공식:
가로, 세로, 높이를 각각 \(l, w, h\)라 할 때,
$$ \text{겉넓이} = 2(lw + lh + wh) $$
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 세 종류의 면 넓이 계산 및 전개
각 면의 넓이를 계산하고 전개합니다.
- 밑면/윗면 넓이 (\(lw\)):
$$ (x+3)(x-3) = x^2 – 3^2 = x^2 – 9 $$
(합차 공식 적용)
- 앞면/뒷면 넓이 (\(lh\)):
$$ (x+3)(3x-2) = x(3x-2) + 3(3x-2) $$
$$ = (3x^2 – 2x) + (9x – 6) = 3x^2 + 7x – 6 $$
- 옆면 넓이 (\(wh\)):
$$ (x-3)(3x-2) = x(3x-2) – 3(3x-2) $$
$$ = (3x^2 – 2x) – (9x – 6) = 3x^2 – 2x – 9x + 6 $$
$$ = 3x^2 – 11x + 6 $$
Step 2: 겉넓이 계산
겉넓이 공식을 이용하여 계산합니다.
$$ \text{겉넓이} = 2 \times (\text{밑면 넓이} + \text{앞면 넓이} + \text{옆면 넓이}) $$
$$ = 2 \{ (x^2 – 9) + (3x^2 + 7x – 6) + (3x^2 – 11x + 6) \} $$
괄호 안의 동류항을 먼저 계산합니다.
$$ = 2 \{ (x^2 + 3x^2 + 3x^2) + (7x – 11x) + (-9 – 6 + 6) \} $$
$$ = 2 \{ 7x^2 – 4x – 9 \} $$
마지막으로 2를 곱합니다.
$$ = 14x^2 – 8x – 18 $$
🧠 마무리 개념 정리
직육면체의 겉넓이는 모든 면의 넓이의 합입니다. 마주 보는 면의 넓이가 같다는 성질을 이용하면, 서로 다른 세 면(밑면, 앞면, 옆면 등)의 넓이를 구해 합한 값에 2를 곱하여 계산할 수 있습니다.
이 과정에서 다항식의 곱셈(분배 법칙, 곱셈 공식)과 다항식의 덧셈(동류항 정리) 연산이 필요합니다.
- 세 변의 길이를 \(l, w, h\)로 설정합니다.
- 세 종류의 면 넓이 \(lw, lh, wh\)를 계산합니다.
- 겉넓이 \(2(lw + lh + wh)\)를 구합니다.
✅ 최종 정답
직육면체의 겉넓이는 \(14x^2 – 8x – 18\) 입니다.
\(14x^2 – 8x – 18\)