📘 문제 이해 및 풀이 전략
한 변의 길이가 각각 \(a, b\) (\(0 < b < a\))인 두 정사각형을 붙여 놓았습니다. 그림에서 점 A, C, D는 일직선상에 있으며, \(\overline{AC} = a\), \(\overline{CD} = b\) 입니다. 따라서 선분 \(\overline{AD}\)의 길이는 \(a+b\)입니다. 점 B는 선분 \(\overline{AD}\)의 중점입니다. \(\overline{AB}\)를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이를 \(S_1\), \(\overline{BC}\)를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이를 \(S_2\)라고 합니다. \(S_1 - S_2 = 18\)일 때, \(ab\)의 값을 구하는 문제입니다.
풀이 전략:
- 선분 길이 계산: \(\overline{AD}\)의 길이를 구하고, B가 중점임을 이용하여 \(\overline{AB}\)의 길이를 구합니다. 그 다음 \(\overline{BC}\)의 길이를 계산합니다.
- 넓이 표현: \(S_1\)과 \(S_2\)를 \(a, b\)에 대한 식으로 나타냅니다 (\(S_1 = \overline{AB}^2\), \(S_2 = \overline{BC}^2\)).
- 방정식 세우기: 주어진 조건 \(S_1 – S_2 = 18\)을 이용하여 \(a, b\)에 대한 방정식을 세웁니다.
- \(ab\) 값 구하기: 세운 방정식을 간단히 정리하여 \(ab\)의 값을 구합니다.
관련 공식:
- 선분의 중점: 선분 AD의 중점이 B이면 \(\overline{AB} = \overline{BD} = \frac{1}{2}\overline{AD}\)
- 정사각형 넓이: 한 변의 길이가 \(l\)일 때 넓이는 \(l^2\)
- 곱셈 공식: \((x+y)^2 = x^2+2xy+y^2\), \((x-y)^2 = x^2-2xy+y^2\)
- 합차 공식: \(X^2 – Y^2 = (X-Y)(X+Y)\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 선분 \(\overline{AB}\)와 \(\overline{BC}\) 길이 구하기
선분 \(\overline{AD}\)의 길이는 두 정사각형의 변의 길이의 합과 같습니다.
$$ \overline{AD} = \overline{AC} + \overline{CD} = a + b $$
점 B는 \(\overline{AD}\)의 중점이므로,
$$ \overline{AB} = \frac{1}{2}\overline{AD} = \frac{a+b}{2} $$
선분 \(\overline{BC}\)의 길이는 \(\overline{AC}\)에서 \(\overline{AB}\)를 뺀 값과 같습니다.
$$ \overline{BC} = \overline{AC} – \overline{AB} = a – \frac{a+b}{2} $$
통분하여 계산합니다.
$$ = \frac{2a}{2} – \frac{a+b}{2} = \frac{2a – (a+b)}{2} = \frac{2a – a – b}{2} = \frac{a-b}{2} $$
Step 2: 넓이 \(S_1\)과 \(S_2\) 표현하기
\(S_1\)은 한 변의 길이가 \(\overline{AB} = \frac{a+b}{2}\)인 정사각형의 넓이입니다.
$$ S_1 = \overline{AB}^2 = \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 = \frac{(a+b)^2}{4} $$
\(S_2\)는 한 변의 길이가 \(\overline{BC} = \frac{a-b}{2}\)인 정사각형의 넓이입니다.
$$ S_2 = \overline{BC}^2 = \left(\frac{a-b}{2}\right)^2 = \frac{(a-b)^2}{4} $$
Step 3: 조건 \(S_1 – S_2 = 18\)을 이용하여 방정식 세우고 풀기
주어진 조건 \(S_1 – S_2 = 18\)에 Step 2에서 구한 식을 대입합니다.
$$ \frac{(a+b)^2}{4} – \frac{(a-b)^2}{4} = 18 $$
양변에 4를 곱합니다.
$$ (a+b)^2 – (a-b)^2 = 18 \times 4 = 72 $$
좌변을 전개하여 정리합니다.
$$ (a^2 + 2ab + b^2) – (a^2 – 2ab + b^2) = 72 $$
$$ a^2 + 2ab + b^2 – a^2 + 2ab – b^2 = 72 $$
동류항을 계산하면 \(a^2\)과 \(b^2\) 항이 소거됩니다.
$$ 4ab = 72 $$
양변을 4로 나누어 \(ab\)를 구합니다.
$$ ab = \frac{72}{4} = 18 $$
(또는 \( (a+b)^2 – (a-b)^2 = 4ab \) 라는 곱셈 공식 변형을 바로 이용해도 됩니다.)
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 도형의 길이와 넓이에 대한 정보를 다항식 연산과 결합하는 문제입니다.
- 선분의 중점: 선분의 길이를 절반으로 나눕니다.
- 선분의 차: 한 선분에서 다른 선분을 뺀 길이를 계산합니다.
- 정사각형 넓이: (한 변의 길이)\(^2\)
- 곱셈 공식: \((a+b)^2\), \((a-b)^2\) 전개 및 \((a+b)^2 – (a-b)^2 = 4ab\) 변형 공식을 활용하여 효율적으로 계산할 수 있습니다.
✅ 최종 정답
\(ab = 18\)
\(18\)