📘 문제 이해 및 풀이 전략
가로의 길이가 \(6a\), 세로의 길이가 \(4a\)인 직사각형 모양의 땅에 폭이 1인 십자(+) 모양의 길을 만들었습니다. 목표는 길을 제외한 나머지 부분(색칠된 부분)의 넓이를 구하는 것입니다.
이 문제를 푸는 두 가지 주요 전략이 있습니다.
- 전략 1 (넓이 빼기): 전체 직사각형의 넓이에서 길의 넓이를 빼서 계산합니다. 이때, 길이 겹치는 부분의 넓이를 주의해야 합니다.
- 전략 2 (넓이 재배치 – 해설 방식): 색칠된 부분을 한쪽으로 모아서 하나의 큰 직사각형을 만든다고 생각하고 그 넓이를 계산합니다. 즉, 길의 폭만큼 가로와 세로 길이를 줄인 직사각형의 넓이를 구합니다.
이 풀이에서는 해설 이미지에서 사용한 전략 2 (넓이 재배치)를 중심으로 설명합니다.
직사각형 넓이 공식:
넓이 = (가로) \(\times\) (세로)
다항식 곱셈 (분배 법칙):
\((A+B)(C+D) = AC + AD + BC + BD\)
✅ 단계별 풀이 과정 (넓이 재배치 방식)
Step 1: 재배치된 직사각형의 가로 길이 구하기
원래 직사각형의 가로 길이는 \(6a\)입니다. 폭이 1인 세로 방향의 길이 만들어졌으므로, 색칠된 부분을 가로 방향으로 합치면 그 길이는 원래 가로 길이에서 길의 폭(1)만큼 줄어든 것과 같습니다.
$$ \text{재배치된 가로 길이} = 6a – 1 $$
Step 2: 재배치된 직사각형의 세로 길이 구하기
원래 직사각형의 세로 길이는 \(4a\)입니다. 폭이 1인 가로 방향의 길이 만들어졌으므로, 색칠된 부분을 세로 방향으로 합치면 그 길이는 원래 세로 길이에서 길의 폭(1)만큼 줄어든 것과 같습니다.
$$ \text{재배치된 세로 길이} = 4a – 1 $$
Step 3: 색칠된 부분의 넓이 계산
색칠된 부분의 넓이는 가로 길이가 \(6a-1\), 세로 길이가 \(4a-1\)인 직사각형의 넓이와 같습니다.
$$ \text{넓이} = (\text{재배치된 가로 길이}) \times (\text{재배치된 세로 길이}) $$
$$ = (6a – 1)(4a – 1) $$
이제 이 다항식을 전개합니다.
$$ = 6a(4a – 1) – 1(4a – 1) $$
$$ = (24a^2 – 6a) – (4a – 1) $$
$$ = 24a^2 – 6a – 4a + 1 $$
동류항을 계산합니다.
$$ = 24a^2 – 10a + 1 $$
💡 대안: 넓이 빼기 방식
1. 전체 넓이 계산:
$$ (6a) \times (4a) = 24a^2 $$
2. 길의 넓이 계산:
- 가로 길 넓이: \(6a \times 1 = 6a\)
- 세로 길 넓이: \(1 \times 4a = 4a\)
- 겹치는 부분 넓이: \(1 \times 1 = 1\)
- 총 길의 넓이 = (가로 길 넓이) + (세로 길 넓이) – (겹치는 부분 넓이)
$$ = 6a + 4a – 1 = 10a – 1 $$
3. 색칠된 부분 넓이 계산:
$$ (\text{전체 넓이}) – (\text{총 길의 넓이}) = 24a^2 – (10a – 1) $$
$$ = 24a^2 – 10a + 1 $$
두 가지 방법 모두 결과가 동일함을 확인할 수 있습니다.
🧠 마무리 개념 정리
직사각형 내부에 길이 있을 때, 길을 제외한 부분의 넓이를 구하는 방법은 크게 두 가지입니다.
- 빼기 방법: 전체 넓이에서 길의 넓이를
니다. 길의 넓이를 계산할 때는 겹치는 부분을 고려해야 합니다(포함-배제 원리). - 재배치 방법: 길을 제외한 부분을 모아서 하나의 도형(주로 직사각형)으로 만든 후 그 넓이를 계산합니다. 십자(+) 모양 길의 경우, 길을 제외한 부분은 가로, 세로 길이가 각각 (원래 길이 – 길 폭)인 직사각형의 넓이와 같습니다.
이 문제의 경우, 해설과 같이 재배치 방법이 계산이 더 간결할 수 있습니다. 최종 계산에는 다항식 곱셈(분배 법칙) 및 덧셈/뺄셈(동류항 정리)이 사용됩니다.
✅ 최종 정답
색칠한 부분의 넓이는 \(24a^2 – 10a + 1\) 입니다.
\(24a^2 – 10a + 1\)