📘 문제 이해 및 풀이 전략
주어진 등식 \((x+y-4)^2 = x^2 + 2xy + y^2 + \Box\) 에서 네모(\(\Box\)) 안에 알맞은 식을 찾는 문제입니다. 좌변 \((x+y-4)^2\)를 전개하여 우변과 비교함으로써 네모 안의 식을 알아낼 수 있습니다.
좌변을 전개하는 방법은 두 가지가 있습니다.
- 방법 1 (치환 이용 – 해설 방식): \(x+y\)를 하나의 덩어리(예: \(A\))로 보고 \((A-4)^2\)를 전개한 후, 다시 \(A\)에 \(x+y\)를 대입하여 정리합니다.
- 방법 2 (세 항 제곱 공식 이용): 공식 \((a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)를 이용합니다. (\(a=x, b=y, c=-4\)로 설정)
여기서는 해설 이미지와 동일하게 방법 1 (치환 이용)으로 풀어보겠습니다.
관련 곱셈 공식:
- \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\)
- \((x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\)
✅ 단계별 풀이 과정 (치환 이용)
Step 1: 치환하기
\(x+y = A\)로 치환합니다.
그러면 주어진 식의 좌변은 다음과 같이 변형됩니다.
$$ (x+y-4)^2 = (A-4)^2 $$
Step 2: 치환된 식 전개하기
\((A-4)^2\)를 곱셈 공식 \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\)를 이용하여 전개합니다.
$$ (A-4)^2 = A^2 – 2(A)(4) + 4^2 = A^2 – 8A + 16 $$
Step 3: 원래 식으로 되돌리기 및 전개
Step 2의 결과에 \(A = x+y\)를 다시 대입합니다.
$$ A^2 – 8A + 16 = (x+y)^2 – 8(x+y) + 16 $$
이제 \((x+y)^2\)를 전개하고, \(-8\)을 분배합니다.
$$ = (x^2 + 2xy + y^2) – (8x + 8y) + 16 $$
$$ = x^2 + 2xy + y^2 – 8x – 8y + 16 $$
Step 4: 주어진 식과 비교하여 \(\Box\) 안의 식 찾기
주어진 등식은 \((x+y-4)^2 = x^2 + 2xy + y^2 + \Box\) 입니다.
Step 3에서 전개한 결과는 \((x+y-4)^2 = x^2 + 2xy + y^2 – 8x – 8y + 16\) 입니다.
두 식을 비교하면, \(\Box\) 안에 들어갈 식은 \(x^2 + 2xy + y^2\)을 제외한 나머지 항들입니다.
$$ \Box = -8x – 8y + 16 $$
💡 대안: 세 항 제곱 공식 이용
공식 \((a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\) 에서 \(a=x, b=y, c=-4\) 로 놓고 전개합니다.
$$ (x+y-4)^2 = x^2 + y^2 + (-4)^2 + 2(x)(y) + 2(y)(-4) + 2(-4)(x) $$
$$ = x^2 + y^2 + 16 + 2xy – 8y – 8x $$
이를 주어진 등식의 우변 \(x^2 + 2xy + y^2 + \Box\)과 비교하면,
$$ \Box = -8x – 8y + 16 $$
두 방법 모두 동일한 결과를 얻습니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 여러 항을 포함하는 다항식의 제곱을 전개하는 문제입니다. 다음과 같은 곱셈 공식을 활용할 수 있습니다.
- \((a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2\) (복호동순)
- \((a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)
항이 많거나 복잡할 경우, 일부 항을 치환하여 간단한 형태로 만든 후 전개하고 다시 원래 문자로 되돌리는 방법이 유용할 수 있습니다.
✅ 최종 정답
네모(\(\Box\)) 안에 알맞은 식은 \(-8x – 8y + 16\) 입니다.
따라서 정답은 ② 입니다.