중3수학 – 유형 – 12225617 – 5번

문제

다음 조건을 모두 만족시키는 자연수 \( a, b \)에 대하여 \( ab \)를 7로 나누었을 때의 나머지를 구하여라.

풀이

📘 문제 요약

• 자연수 \( a \)는 \( a \equiv 3 \pmod{7} \)
• 자연수 \( b \)는 \( b \equiv 4 \pmod{7} \)
• 이때 \( ab \mod 7 \)의 값을 구하고자 함

✅ 단계별 풀이

Step 1. \( a \)와 \( b \)를 7의 배수로 표현

\( a \)를 7로 나누었을 때 나머지가 3이라는 것은, \( a = 7p + 3 \) (단, \( p \)는 정수)
\( b = 7q + 4 \) (단, \( q \)는 정수)

Step 2. \( ab \) 계산

\[ ab = (7p + 3)(7q + 4) \] \[ = 49pq + 28p + 21q + 12 \]

Step 3. \( ab \mod 7 \) 구하기

위 식에서 49pq, 28p, 21q는 모두 7의 배수이므로 7로 나누었을 때 나머지는 0이 됩니다. 즉, \( ab \equiv 12 \pmod{7} \) 이고 12를 7로 나눈 나머지를 계산하면: \[ 12 \div 7 = 1 \text{몫}, 5 \text{나머지} \] 따라서, \[ ab \equiv 5 \pmod{7} \]

✅ 최종 정답

정답: 5

🧠 마무리 개념 정리

• 정수를 나눈 나머지를 구하는 연산은 모듈로(mod) 연산이라고 부릅니다.
• 곱셈에서 모듈로 연산은 모듈로 곱셈 법칙을 따릅니다: \[ (a \mod m) \cdot (b \mod m) \equiv ab \mod m \] 예를 들어, \( a \equiv 3 \mod 7 \), \( b \equiv 4 \mod 7 \) 이면 \[ ab \equiv 3 \cdot 4 = 12 \equiv 5 \mod 7 \]
• 이 문제에서는 분배법칙을 적용하여 전개 후 나머지를 구했지만, 더 빠른 방법은 각 수의 나머지를 곱한 뒤 다시 나머지를 구하는 것입니다.