📘 문제 이해 및 풀이 전략
주어진 식 \((a+b+3c+d)(a-b+3c-d)\)를 전개하는 문제입니다. 항이 많아 직접 분배 법칙을 사용하는 것은 복잡할 수 있습니다. 해설 이미지에서 제시된 방법처럼, 공통 부분을 찾아 치환하고 곱셈 공식(특히 합차 공식)을 활용하는 것이 효율적입니다.
풀이 전략:
- 항 재배열 및 그룹화: 두 괄호 안의 항들을 적절히 재배열하여 공통 부분과 부호만 다른 부분을 찾아 그룹으로 묶습니다.
- 치환: 묶인 부분을 새로운 문자로 치환하여 식을 간단하게 만듭니다.
- 곱셈 공식 적용: 치환된 식에 적합한 곱셈 공식을 적용하여 전개합니다. (이 경우 합차 공식 \( (A+B)(A-B) = A^2 – B^2 \) 이 사용됩니다.)
- 원래 식으로 복원: 치환했던 문자를 원래의 식으로 되돌립니다.
- 최종 전개 및 정리: 복원된 식을 곱셈 공식을 이용하여 완전히 전개하고 동류항을 정리합니다.
관련 곱셈 공식:
- \((A+B)(A-B) = A^2 – B^2\) (합차 공식)
- \((X+Y)^2 = X^2 + 2XY + Y^2\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 항 재배열 및 그룹화
주어진 식 \((a+b+3c+d)(a-b+3c-d)\)의 각 괄호 안에서 항의 순서를 바꿔 공통 부분을 묶습니다.
$$ = \{ (a+3c) + (b+d) \} \{ (a+3c) – (b+d) \} $$
첫 번째 괄호: \((a+3c) + (b+d)\)
두 번째 괄호: \((a+3c) – b – d = (a+3c) – (b+d)\)
Step 2: 치환하기
\(A = a+3c\) 이고 \(B = b+d\) 라고 치환합니다.
그러면 Step 1의 식은 다음과 같이 간단해집니다.
$$ (A + B)(A – B) $$
Step 3: 곱셈 공식 (합차 공식) 적용
합차 공식을 적용하여 전개합니다.
$$ (A + B)(A – B) = A^2 – B^2 $$
Step 4: 원래 식으로 복원
치환했던 \(A\)와 \(B\)를 원래의 식으로 되돌립니다.
$$ A^2 – B^2 = (a+3c)^2 – (b+d)^2 $$
Step 5: 최종 전개 및 정리
각 제곱 항을 곱셈 공식 \((X+Y)^2 = X^2 + 2XY + Y^2\)을 이용하여 전개합니다.
- \((a+3c)^2 = a^2 + 2(a)(3c) + (3c)^2 = a^2 + 6ac + 9c^2\)
- \((b+d)^2 = b^2 + 2(b)(d) + d^2 = b^2 + 2bd + d^2\)
이를 Step 4의 식에 대입합니다.
$$ (a+3c)^2 – (b+d)^2 = (a^2 + 6ac + 9c^2) – (b^2 + 2bd + d^2) $$
괄호를 풀고 정리합니다. (두 번째 괄호 앞의 마이너스 부호 분배에 주의)
$$ = a^2 + 6ac + 9c^2 – b^2 – 2bd – d^2 $$
항의 순서를 보기 좋게 재배열하면 (해설 이미지와 동일하게):
$$ = a^2 – b^2 + 9c^2 – d^2 + 6ac – 2bd $$
🧠 마무리 개념 정리
항이 여러 개인 복잡한 다항식의 곱셈을 전개할 때는 다음과 같은 방법을 고려할 수 있습니다.
- 분배 법칙: 가장 기본적인 방법이지만 항이 많으면 계산이 복잡하고 실수하기 쉽습니다.
- 치환과 곱셈 공식 활용: 공통 부분을 찾아 치환하면 익숙한 곱셈 공식을 적용할 수 있는 형태로 변형될 수 있습니다. 이 방법은 계산 과정을 단순화하고 실수를 줄이는 데 효과적입니다. 특히 합차 공식을 적용할 수 있는 구조인지 살펴보는 것이 좋습니다 (\((A+B)(A-B)\) 꼴).
이 문제는 치환을 통해 합차 공식을 적용하고, 그 후 제곱 공식을 이용하여 최종 결과를 얻는 과정을 보여줍니다.
✅ 최종 정답
주어진 식을 전개하면 \(a^2 – b^2 + 9c^2 – d^2 + 6ac – 2bd\) 입니다.
\(a^2 – b^2 + 9c^2 – d^2 + 6ac – 2bd\)