📘 문제 이해 및 풀이 전략
곱셈 공식을 이용하여 \(5.3 \times 5.7\)을 계산하려고 할 때, 보기로 주어진 5개의 곱셈 공식 중 어떤 것을 이용하는 것이 가장 편리한지를 묻는 문제입니다.
풀이 전략:
- 계산하려는 수 \(5.3\)과 \(5.7\)을 각 곱셈 공식의 좌변 형태에 맞춰 변형해 봅니다.
- 어떤 공식을 적용했을 때 우변의 계산이 가장 간단하고 편리해지는지 비교 평가합니다. “편리하다”는 것은 암산이 쉽거나 계산 과정이 단순해지는 것을 의미합니다.
✅ 단계별 보기 분석 및 평가
① \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\)
이 공식은 어떤 수를 제곱할 때 사용합니다. \(5.3 \times 5.7\)은 두 다른 수의 곱이므로 이 공식을 직접 적용하기는 어렵습니다.
평가: 부적합
② \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
이 공식 역시 어떤 수를 제곱할 때 사용합니다. 따라서 \(5.3 \times 5.7\) 계산에는 직접 적용하기 어렵습니다.
평가: 부적합
③ \((a+b)(a-b) = a^2 – b^2\) (합차 공식)
\(5.3\)과 \(5.7\)을 \(a-b\)와 \(a+b\) 형태로 나타낼 수 있는지 확인합니다. 두 수의 평균이 \(a\), 차이의 절반이 \(b\)가 됩니다.
평균: \(\frac{5.3 + 5.7}{2} = \frac{11}{2} = 5.5\)
차이의 절반: \(\frac{5.7 – 5.3}{2} = \frac{0.4}{2} = 0.2\)
따라서 \(a = 5.5\), \(b = 0.2\)로 놓으면 \(5.3 = 5.5 – 0.2\) 이고 \(5.7 = 5.5 + 0.2\) 입니다.
$$ 5.3 \times 5.7 = (5.5 – 0.2)(5.5 + 0.2) = (5.5)^2 – (0.2)^2 $$
계산은 \(30.25 – 0.04 = 30.21\) 입니다.
평가: 적용 가능. \(5.5^2\) 계산이 필요합니다.
④ \((x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab\)
\(5.3\)과 \(5.7\)에서 공통 부분인 \(x\)를 찾습니다. \(x=5\)로 두면 편리해 보입니다.
$$ 5.3 = 5 + 0.3 $$
$$ 5.7 = 5 + 0.7 $$
따라서 \(x=5, a=0.3, b=0.7\)로 놓고 공식을 적용할 수 있습니다.
$$ 5.3 \times 5.7 = (5 + 0.3)(5 + 0.7) = 5^2 + (0.3 + 0.7) \times 5 + (0.3)(0.7) $$
계산은 \(25 + (1) \times 5 + 0.21 = 25 + 5 + 0.21 = 30.21\) 입니다.
평가: 적용 가능. \(a+b=1\)이 되어 계산이 매우 편리합니다.
⑤ \((ax+b)(cx+d) = acx^2 + (ad+bc)x + bd\)
이 공식은 가장 일반적인 두 일차식의 곱으로, 특별한 편리성을 제공한다고 보기는 어렵습니다. 예를 들어 \(x=1\)로 두면 \((5.3)(5.7)\)이 되어 원래 계산과 같아지고, 다른 \(x\) 값을 설정해도 계산이 특별히 간단해지지 않습니다. 이 공식보다는 ③이나 ④가 더 구체적이고 편리한 경우에 해당합니다.
평가: 적용은 가능하나 특별히 편리하지 않음.
🧠 편리성 비교 및 결론
보기 ③과 ④ 모두 공식을 적용하여 계산할 수 있습니다.
- ③ 합차 공식을 이용하면 \((5.5)^2 – (0.2)^2\) 를 계산해야 합니다.
- ④ \((x+a)(x+b)\) 공식을 이용하면 \(5^2 + (0.3+0.7) \times 5 + (0.3)(0.7)\) 를 계산해야 합니다.
④번 방법은 \(x=5\)라는 정수를 기준으로 삼고, \(a+b=1\)이 되어 계산이 매우 간결해집니다. 반면 ③번 방법은 소수 \(5.5\)를 제곱해야 합니다. 따라서 이 계산에는 ④번 공식 \((x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab\)을 이용하는 것이 가장 편리합니다.
✅ 최종 정답
\(5.3 \times 5.7 = (5+0.3)(5+0.7)\) 로 보고 \((x+a)(x+b)\) 공식을 이용하는 것이 가장 편리합니다.
따라서 정답은 ④ 입니다.