📘 문제 이해 및 풀이 전략
곱셈 공식을 이용하여 \(45 \times 35 – 39^2\)를 계산하는 문제입니다.
직접 계산하는 대신, 주어진 수를 기준이 되는 수(이 경우 40)를 이용하여 변형하고 곱셈 공식을 적용하여 계산을 간단하게 만드는 전략을 사용합니다.
- \(45 \times 35\) 변형: \(45 = 40 + 5\) 이고 \(35 = 40 – 5\) 이므로, 합차 공식 \((a+b)(a-b) = a^2 – b^2\)을 이용할 수 있습니다.
- \(39^2\) 변형: \(39 = 40 – 1\) 이므로, 제곱 공식 \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\)을 이용할 수 있습니다.
- 계산 및 정리: 변형된 식을 원래 식에 대입하고 전개하여 최종 결과를 계산합니다.
관련 곱셈 공식:
- \((a+b)(a-b) = a^2 – b^2\) (합차 공식)
- \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 수를 기준 수(40)로 변형하기
주어진 식 \(45 \times 35 – 39^2\)의 각 부분을 40을 기준으로 표현합니다.
$$ 45 = 40 + 5 $$
$$ 35 = 40 – 5 $$
$$ 39 = 40 – 1 $$
따라서 원래 식은 다음과 같이 변형됩니다.
$$ (40 + 5)(40 – 5) – (40 – 1)^2 $$
Step 2: 곱셈 공식 적용하기
각 부분에 곱셈 공식을 적용합니다.
- \((40 + 5)(40 – 5)\)에 합차 공식을 적용:
$$ (40+5)(40-5) = 40^2 – 5^2 $$
- \((40 – 1)^2\)에 제곱 공식을 적용:
$$ (40-1)^2 = 40^2 – 2(40)(1) + 1^2 = 40^2 – 80 + 1 $$
Step 3: 식 계산 및 정리
Step 2의 결과를 원래 식에 대입합니다.
$$ (40^2 – 5^2) – (40^2 – 80 + 1) $$
괄호를 풀고 정리합니다. (두 번째 괄호 앞의 마이너스 부호 분배에 주의)
$$ = 40^2 – 5^2 – 40^2 + 80 – 1 $$
동류항 \((40^2 – 40^2)\)은 0이 되어 소거됩니다.
$$ = -5^2 + 80 – 1 $$
이제 남은 항을 계산합니다.
$$ = -25 + 80 – 1 $$
$$ = 55 – 1 = 54 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 수의 계산을 곱셈 공식을 이용하여 효율적으로 처리하는 방법을 보여줍니다.
- 계산하려는 수들이 특정 기준 수(이 경우 40)로부터 대칭적이거나 가까울 때 곱셈 공식을 활용하면 계산이 간단해집니다.
- \(a \times b\) 형태에서 \(a, b\)가 \(k+p, k-p\) 꼴이면 합차 공식을 사용합니다.
- \(a^2\) 형태에서 \(a\)가 \(k \pm p\) 꼴이면 완전 제곱 공식을 사용합니다.
- 식을 대입하고 정리할 때 괄호와 부호 처리에 주의해야 합니다.
✅ 최종 정답
\(45 \times 35 – 39^2 = 54\)
\(54\)