📘 문제 이해 및 풀이 전략
주어진 등식 \((2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1) = 2^a – 1\) 에서 상수 \(a\)의 값을 구하는 문제입니다.
좌변의 형태가 곱셈 공식 중 합차 공식 \((x-y)(x+y) = x^2 – y^2\) 을 연쇄적으로 적용하기 좋은 구조임을 파악하는 것이 핵심입니다.
풀이 전략:
- 좌변에 \( (2-1) \) (값은 1이므로 곱해도 식의 값은 변하지 않음) 을 곱합니다.
- 합차 공식을 반복적으로 적용하여 좌변을 간단히 정리합니다.
- 정리된 좌변과 우변 \(2^a – 1\)을 비교하여 \(a\) 값을 구합니다.
관련 곱셈 공식 (합차 공식):
$$ (x-y)(x+y) = x^2 – y^2 $$
지수 법칙:
$$ (x^m)^n = x^{mn} $$
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 좌변에 \((2-1)\) 곱하기
좌변을 \(LHS\)라고 하겠습니다.
$$ LHS = (2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1) $$
\(2-1 = 1\) 이므로, 식의 값은 변하지 않으면서 합차 공식을 적용하기 위해 \( (2-1) \)을 곱합니다.
$$ LHS = 1 \times LHS = (2-1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1) $$
Step 2: 합차 공식 연쇄 적용
합차 공식을 순서대로 적용합니다.
첫 번째 적용 (\((2-1)(2+1)\)):
$$ LHS = (2^2 – 1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1) $$
두 번째 적용 (\((2^2-1)(2^2+1)\)):
$$ LHS = ((2^2)^2 – 1^2)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1) $$
$$ = (2^4 – 1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1) $$
세 번째 적용 (\((2^4-1)(2^4+1)\)):
$$ LHS = ((2^4)^2 – 1^2)(2^8+1)(2^{16}+1) $$
$$ = (2^8 – 1)(2^8+1)(2^{16}+1) $$
네 번째 적용 (\((2^8-1)(2^8+1)\)):
$$ LHS = ((2^8)^2 – 1^2)(2^{16}+1) $$
$$ = (2^{16} – 1)(2^{16}+1) $$
다섯 번째 적용 (\((2^{16}-1)(2^{16}+1)\)):
$$ LHS = (2^{16})^2 – 1^2 $$
지수 법칙 \((x^m)^n = x^{mn}\)을 적용합니다.
$$ = 2^{16 \times 2} – 1 = 2^{32} – 1 $$
Step 3: 우변과 비교하여 \(a\) 값 결정
주어진 등식은 \(LHS = 2^a – 1\) 입니다.
Step 2에서 계산한 결과 \(LHS = 2^{32} – 1\) 이므로,
$$ 2^{32} – 1 = 2^a – 1 $$
양변을 비교하면 지수가 같아야 합니다.
$$ a = 32 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 합차 공식 \((x-y)(x+y) = x^2 – y^2\)을 연쇄적으로 활용하는 대표적인 예시입니다. 식의 구조 \((A+1)(A^2+1)(A^4+1)\dots\) 형태를 보고, 앞에 \((A-1)\)을 곱하여 합차 공식을 반복 적용할 수 있음을 파악하는 것이 중요합니다. 이 과정에서 지수 법칙 \((x^m)^n = x^{mn}\)도 정확히 사용해야 합니다.
✅ 최종 정답
상수 \(a\)의 값은 32입니다.
따라서 정답은 ③ 입니다.