📘 문제 이해 및 풀이 전략
두 수 \(A = (\sqrt{3}+2)^2\) 와 \(B = (1-2\sqrt{3})^2\) 가 주어졌을 때, \(A+B\)의 값을 구하는 문제입니다.
풀이 전략:
- \(A\) 계산: 곱셈 공식 \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) 를 이용하여 \(A\)의 값을 계산합니다.
- \(B\) 계산: 곱셈 공식 \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\) 를 이용하여 \(B\)의 값을 계산합니다.
- \(A+B\) 계산: 계산된 \(A\)와 \(B\)의 값을 더합니다.
관련 곱셈 공식:
- \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
- \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: \(A\) 계산하기
\(A = (\sqrt{3}+2)^2\) 에 곱셈 공식 \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)를 적용합니다. (여기서 \(a=\sqrt{3}, b=2\))
$$ A = (\sqrt{3})^2 + 2(\sqrt{3})(2) + (2)^2 $$
$$ = 3 + 4\sqrt{3} + 4 $$
$$ = 7 + 4\sqrt{3} $$
Step 2: \(B\) 계산하기
\(B = (1-2\sqrt{3})^2\) 에 곱셈 공식 \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\)를 적용합니다. (여기서 \(a=1, b=2\sqrt{3}\))
$$ B = (1)^2 – 2(1)(2\sqrt{3}) + (2\sqrt{3})^2 $$
\((2\sqrt{3})^2 = 2^2 \times (\sqrt{3})^2 = 4 \times 3 = 12\) 이므로,
$$ B = 1 – 4\sqrt{3} + 12 $$
$$ = 13 – 4\sqrt{3} $$
Step 3: \(A + B\) 계산하기
Step 1과 Step 2에서 구한 \(A\)와 \(B\)의 값을 더합니다.
$$ A + B = (7 + 4\sqrt{3}) + (13 – 4\sqrt{3}) $$
괄호를 풀고 동류항끼리 계산합니다.
$$ = 7 + 13 + 4\sqrt{3} – 4\sqrt{3} $$
$$ = (7 + 13) + (4\sqrt{3} – 4\sqrt{3}) $$
$$ = 20 + 0 = 20 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 제곱근을 포함한 식의 제곱을 계산하기 위해 곱셈 공식 \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)과 \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\)을 정확히 적용하는 능력을 평가합니다. 계산 과정에서 \({(\sqrt{k})}^2 = k\) 와 \({(m\sqrt{k})}^2 = m^2 k\) 등의 제곱근 계산 규칙도 사용됩니다. 마지막으로 계산된 두 값을 더할 때는 유리수 부분과 무리수 부분을 각각 더하여 정리합니다.
✅ 최종 정답
\(A + B = 20\)
\(20\)