📘 문제 이해 및 풀이 전략
주어진 분수식 \(\frac{\sqrt{10} + \sqrt{6}}{\sqrt{10} – \sqrt{6}}\)의 분모를 유리화하는 문제입니다.
분모가 \(\sqrt{a} – \sqrt{b}\) 형태이므로, 분모와 분자에 분모의 켤레인 \(\sqrt{a} + \sqrt{b}\)를 곱하여 분모를 유리화합니다. 이 과정에서 곱셈 공식 \((x-y)(x+y) = x^2 – y^2\)와 \((x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\)이 사용됩니다.
풀이 전략:
- 분모 \(\sqrt{10} – \sqrt{6}\)의 켤레인 \(\sqrt{10} + \sqrt{6}\)을 찾습니다.
- 주어진 분수식의 분모와 분자에 \(\sqrt{10} + \sqrt{6}\)을 곱합니다.
- 곱셈 공식을 이용하여 새로운 분모와 분자를 계산합니다.
- 계산된 결과를 약분하여 간단히 정리합니다.
관련 곱셈 공식:
- \((x-y)(x+y) = x^2 – y^2\) (합차 공식)
- \((x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\) (완전 제곱 공식)
제곱근 성질:
- \((\sqrt{a})^2 = a\) (단, \(a \ge 0\))
- \(\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}\) (단, \(a \ge 0, b \ge 0\))
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 분모의 켤레 곱하기
주어진 식은 \(\frac{\sqrt{10} + \sqrt{6}}{\sqrt{10} – \sqrt{6}}\) 입니다.
분모 \(\sqrt{10} – \sqrt{6}\)의 켤레는 \(\sqrt{10} + \sqrt{6}\) 입니다.
분모와 분자에 \(\sqrt{10} + \sqrt{6}\)을 곱합니다.
$$ \frac{\sqrt{10} + \sqrt{6}}{\sqrt{10} – \sqrt{6}} = \frac{(\sqrt{10} + \sqrt{6})}{(\sqrt{10} – \sqrt{6})} \times \frac{(\sqrt{10} + \sqrt{6})}{(\sqrt{10} + \sqrt{6})} $$
$$ = \frac{(\sqrt{10} + \sqrt{6})^2}{(\sqrt{10} – \sqrt{6})(\sqrt{10} + \sqrt{6})} $$
Step 2: 분모 계산하기
분모에 합차 공식을 적용합니다: \((\sqrt{10} – \sqrt{6})(\sqrt{10} + \sqrt{6})\)
$$ = (\sqrt{10})^2 – (\sqrt{6})^2 $$
$$ = 10 – 6 = 4 $$
Step 3: 분자 계산하기
분자에 완전 제곱 공식을 적용합니다: \((\sqrt{10} + \sqrt{6})^2\)
$$ = (\sqrt{10})^2 + 2(\sqrt{10})(\sqrt{6}) + (\sqrt{6})^2 $$
$$ = 10 + 2\sqrt{10 \times 6} + 6 $$
$$ = 10 + 2\sqrt{60} + 6 $$
$$ = 16 + 2\sqrt{60} $$
\(\sqrt{60}\)을 간단히 합니다: \(\sqrt{60} = \sqrt{4 \times 15} = \sqrt{4}\sqrt{15} = 2\sqrt{15}\)
$$ = 16 + 2(2\sqrt{15}) = 16 + 4\sqrt{15} $$
Step 4: 최종 결과 정리하기
Step 2와 Step 3의 결과를 이용하여 분수식을 다시 씁니다.
$$ \frac{\text{분자}}{\text{분모}} = \frac{16 + 4\sqrt{15}}{4} $$
분모 4로 분자의 각 항을 나눕니다.
$$ = \frac{16}{4} + \frac{4\sqrt{15}}{4} $$
$$ = 4 + \sqrt{15} $$
🧠 마무리 개념 정리
분모에 제곱근이 포함된 분수식을 간단히 하기 위해 분모의 유리화를 수행합니다. 특히 분모가 \(\sqrt{a} \pm \sqrt{b}\) 또는 \(a \pm \sqrt{b}\) 형태일 때는 다음과 같은 방법을 사용합니다.
- 켤레 곱하기: 분모의 켤레를 분모와 분자에 모두 곱합니다.
- \(\sqrt{a} – \sqrt{b}\)의 켤레는 \(\sqrt{a} + \sqrt{b}\)
- \(a + \sqrt{b}\)의 켤레는 \(a – \sqrt{b}\)
- 곱셈 공식 적용: 분모에는 합차 공식 \((x-y)(x+y) = x^2 – y^2\)이 적용되어 제곱근이 사라지고 유리수가 됩니다. 분자는 주어진 식에 따라 곱셈 공식을 적용하거나 분배 법칙을 사용하여 전개합니다.
- 결과 정리: 계산된 결과를 약분하여 가장 간단한 형태로 나타냅니다.
✅ 최종 정답
주어진 식의 분모를 유리화한 결과는 \(4 + \sqrt{15}\) 입니다.
\(4 + \sqrt{15}\)