📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 \(a + \frac{1}{a}\)의 값을 이용하여 \(a^2 + \frac{1}{a^2}\)의 값을 구하는 문제입니다. 곱셈 공식의 변형을 활용하여 \(a^2 + \frac{1}{a^2}\)을 \(a + \frac{1}{a}\)로 표현하는 전략을 사용합니다.
- 곱셈 공식 활용: \(a^2 + \frac{1}{a^2}\)을 \(a + \frac{1}{a}\)로 나타낼 수 있는 곱셈 공식의 변형을 사용합니다.
- 값 대입: 주어진 \(a + \frac{1}{a}\)의 값을 곱셈 공식의 변형에 대입합니다.
- 계산: 대입된 식을 계산하여 \(a^2 + \frac{1}{a^2}\)의 값을 구합니다.
핵심 공식:
\(\left(a + \frac{1}{a}\right)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} = a^2 + 2 + \frac{1}{a^2}\)
따라서, \(a^2 + \frac{1}{a^2} = \left(a + \frac{1}{a}\right)^2 – 2\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 곱셈 공식 변형 적용
\(a^2 + \frac{1}{a^2}\)을 구하기 위해 곱셈 공식 \(\left(a + \frac{1}{a}\right)^2 = a^2 + 2 + \frac{1}{a^2}\)을 활용합니다.
식을 변형하여 \(a^2 + \frac{1}{a^2}\)을 \(a + \frac{1}{a}\)로 나타냅니다.
$$ a^2 + \frac{1}{a^2} = \left(a + \frac{1}{a}\right)^2 – 2 $$
Step 2: 값 대입
문제에서 주어진 \(a + \frac{1}{a} = 5\)을 위 식에 대입합니다.
$$ a^2 + \frac{1}{a^2} = 5^2 – 2 $$
Step 3: 계산
대입된 식을 계산합니다.
$$ a^2 + \frac{1}{a^2} = 25 – 2 $$
$$ = 23 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 곱셈 공식의 변형을 활용하여 식의 값을 구하는 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 곱셈 공식의 변형: \(a^2 + \frac{1}{a^2} = \left(a + \frac{1}{a}\right)^2 – 2\) 와 같이 \(a^2 + \frac{1}{a^2}\)을 \(a + \frac{1}{a}\)를 이용하여 표현하는 것입니다.
- 값 대입 및 계산: 주어진 값을 곱셈 공식의 변형에 대입하고 정확하게 계산합니다.
이 문제에서는 주어진 \(a + \frac{1}{a}\)의 값을 곱셈 공식의 변형에 대입하여 \(a^2 + \frac{1}{a^2}\)의 값을 쉽게 구할 수 있습니다. 곱셈 공식의 변형을 숙지하고, 주어진 조건에 맞는 공식을 선택하여 적용하는 연습이 중요합니다.
✅ 최종 정답
② 23