📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 주어진 \(x-y=4\)를 이용하여 \((x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4) = a(x^b-y^b)\)을 만족하는 상수 \(a, b\)의 값을 구하는 문제입니다. 곱셈 공식을 반복적으로 적용하여 좌변을 간단하게 만들고, 우변과 비교하여 \(a\)와 \(b\)의 값을 결정합니다. 합차 공식, 거듭제곱의 형태를 이용한 곱셈 공식 변형이 핵심입니다.
- \(x-y\) 활용: 주어진 \(x-y = 4\)를 이용하여 식을 변형합니다. 좌변에 \(x-y\)를 곱해주고 계수를 조절합니다.
- 곱셈 공식 적용: 합차 공식과 \( (x^2 – y^2)(x^2 + y^2) = x^4 – y^4 \) 와 같은 곱셈 공식을 반복적으로 적용하여 좌변을 간단하게 만듭니다.
- 계수 비교: 간단해진 좌변의 형태와 우변의 형태를 비교하여 \(a\)와 \(b\)의 값을 결정합니다.
핵심 공식:
\((x-y)(x+y) = x^2 – y^2\) (합차 공식)
\((x^2 – y^2)(x^2 + y^2) = x^4 – y^4\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: \(x-y\)를 이용하여 식 변형
주어진 \(x-y = 4\)를 이용하여, 좌변에 \(x-y\)를 곱해주기 위해 \(\frac{1}{4}\)을 곱합니다.
$$ (x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4) = \frac{1}{4} \cdot 4 (x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4) $$
그리고 \(4\)를 \(x-y\)로 바꿉니다.
$$ = \frac{1}{4} (x-y)(x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4) $$
Step 2: 곱셈 공식 반복 적용
합차 공식을 이용하여 식을 간단하게 만듭니다.
$$ = \frac{1}{4} (x^2 – y^2)(x^2+y^2)(x^4+y^4) $$
다시 합차 공식을 적용합니다.
$$ = \frac{1}{4} (x^4 – y^4)(x^4+y^4) $$
마지막으로 합차 공식을 적용합니다.
$$ = \frac{1}{4} (x^8 – y^8) $$
Step 3: 계수 비교
변형된 식 \(\frac{1}{4}(x^8 – y^8)\)과 우변 \(a(x^b – y^b)\)를 비교합니다.
따라서, \(a = \frac{1}{4}\)이고, \(b = 8\)입니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 곱셈 공식을 반복적으로 적용하고, 식을 변형하여 미지수의 값을 구하는 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 곱셈 공식의 활용: 합차 공식과 거듭제곱 형태의 곱셈 공식을 활용하여 식을 간단하게 만드는 능력.
- 식 변형: 주어진 조건을 이용하여 식을 적절하게 변형하는 능력.
- 계수 비교: 변형된 식과 목표 식을 비교하여 미지수의 값을 정확하게 찾는 능력.
이 문제에서는 \(x-y = 4\)를 이용하여 식을 변형하고, 합차 공식을 반복적으로 적용하여 좌변을 간단하게 만든 후, 우변과 비교하여 \(a\)와 \(b\)의 값을 구했습니다. 곱셈 공식의 능숙한 활용과 꼼꼼한 계산이 중요합니다.
✅ 최종 정답
\(a = \frac{1}{4}, b = 8\)