문제
미주와 승현이가 \( x^2 \)의 계수가 1인 어떤 이차식을 인수분해하는데, 미주는 \( x \)의 계수를 잘못 보고 \( (x – 2)(x + 16) \)으로 인수분해하였고, 승현이는 상수항을 잘못 보고 \( (x + 2)(x – 6) \)으로 인수분해하였다. 처음의 이차식을 바르게 인수분해하여라.
풀이
📘 문제 요약
- 이차식의 원래 형태는 \( x^2 + bx + c \)
- 미주는 \( x \)의 계수를 잘못 보았고, 승현이는 상수항을 잘못 보았음
✅ 단계별 풀이
Step 1: 미주가 본 이차식 분석
미주는 \( x \)의 계수를 잘못 보았다고 했습니다. 그녀는 다음과 같이 인수분해했습니다:
\( (x – 2)(x + 16) = x^2 + 14x – 32 \)
이로부터 상수항은 -32임을 알 수 있습니다. 즉, 미주는 상수항은 제대로 보았고, \( x \)의 계수만 잘못 본 것입니다.
Step 2: 승현이의 이차식 분석
승현이는 상수항을 잘못 보았다고 했습니다. 그는 다음과 같이 인수분해했습니다:
\( (x + 2)(x – 6) = x^2 – 4x – 12 \)
이로부터 \( x \)의 계수는 -4임을 알 수 있습니다. 즉, 승현이는 \( x \)의 계수는 정확히 보았고, 상수항만 잘못 본 것입니다.
Step 3: 올바른 이차식 도출
미주의 이차식에서 정확한 정보: 상수항 \( -32 \)
승현이의 이차식에서 정확한 정보: \( x \)의 계수 \( -4 \)
그러므로 처음의 이차식은:
\( x^2 – 4x – 32 \)
Step 4: 이차식 인수분해
이제 \( x^2 – 4x – 32 \)를 인수분해해야 합니다.
곱해서 -32, 더해서 -4가 되는 두 수를 찾습니다: \( +4 \)와 \( -8 \)
따라서 인수분해 결과는:
\( x^2 – 4x – 32 = (x + 4)(x – 8) \)
✅ 최종 정답
바르게 인수분해한 결과는 \( \boxed{(x + 4)(x – 8)} \)입니다.
🧠 개념 정리
- 이차식 인수분해는 \( x^2 + bx + c \)의 꼴에서 두 수의 곱이 \( c \), 합이 \( b \)가 되는 두 수를 찾아 인수분해합니다.
- 계수 비교법을 사용하면 두 이차식을 비교하여 항의 계수를 통해 누락된 정보를 유추할 수 있습니다.
- 인수분해 실수가 나왔을 때, 정확하게 맞는 항을 보존하고 잘못된 항만 바꾸는 방식으로 원래 식을 복원할 수 있습니다.