📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 복잡한 식의 값을 구하는 문제입니다. 주어진 식을 간단하게 만들기 위해 치환을 활용하고, 곱셈 공식을 적용하여 분자, 분모를 정리합니다. 공통 인수를 찾아 약분하여 최종 값을 구합니다.
- 치환: \(5^2\)과 \(7^5\)을 각각 \(A\)와 \(B\)로 치환하여 식을 간단하게 만듭니다.
- 곱셈 공식 적용 및 식 정리: 분자를 전개하고, \(A^2 – 1\) 형태를 만들기 위해 곱셈 공식을 적용합니다.
- 약분: 분자와 분모의 공통 인수를 찾아 약분합니다.
핵심 공식:
\((a+b)(a-b) = a^2 – b^2\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 치환
\(5^2 = A\), \(7^5 = B\)로 치환합니다. 주어진 식은 다음과 같습니다.
$$ \frac{(2A+B)(A-2B) + (A+B)(A+2B) – 3}{A^2-1} $$
Step 2: 곱셈 공식 적용 및 식 정리
분자를 전개합니다.
$$ (2A+B)(A-2B) + (A+B)(A+2B) – 3 = (2A^2 – 3AB – 2B^2) + (A^2 + 3AB + 2B^2) – 3 $$
식을 정리합니다.
$$ = 3A^2 – 3 $$
분모는 \(A^2 – 1\) 입니다.
따라서, 식은 다음과 같습니다.
$$ \frac{3A^2 – 3}{A^2 – 1} $$
Step 3: 약분
분자를 인수분해합니다.
$$ \frac{3(A^2 – 1)}{A^2 – 1} $$
약분합니다.
$$ = 3 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 식을 간단하게 만들기 위해 치환과 곱셈 공식을 활용하는 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 치환: 복잡한 식을 간단하게 만들기 위해 일부를 다른 문자로 치환하는 능력.
- 곱셈 공식 활용: 전개 및 인수분해를 통해 식을 정리하는 능력.
- 약분: 분자와 분모의 공통 인수를 찾아 약분하여 식을 간단하게 만드는 능력.
이 문제에서는 치환을 통해 식을 간단하게 만들고, 곱셈 공식을 적용하여 분자를 정리한 후, 약분을 통해 최종 값을 구했습니다. 복잡한 식을 다룰 때, 치환, 곱셈 공식, 인수분해, 약분 등을 적절하게 활용하는 것이 중요합니다.
✅ 최종 정답
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