📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 한 변의 길이가 15인 정사각형에서 모서리를 잘라내어 정팔각형을 만들었을 때, 정팔각형의 둘레의 길이를 구하는 문제입니다. 정팔각형의 한 변의 길이를 구하기 위해, 잘려나간 직각이등변삼각형의 성질을 이용합니다. 피타고라스 정리, 무리수 계산이 필요합니다.
- 직각이등변삼각형 분석: 잘려나간 직각이등변삼각형의 두 변의 길이를 \(x\)로 놓고, 피타고라스 정리를 이용하여 빗변의 길이를 \(x\)로 표현합니다.
- 정사각형 변의 길이 활용: 정사각형의 한 변의 길이를 정팔각형의 변의 길이와 잘려나간 삼각형의 변의 길이로 표현합니다.
- 정팔각형 변의 길이 계산: \(x\)에 대한 방정식을 풀어서 \(x\)의 값을 구하고, 정팔각형의 한 변의 길이를 계산합니다.
- 둘레 계산: 정팔각형의 한 변의 길이에 8을 곱하여 둘레의 길이를 구합니다.
핵심 공식:
피타고라스 정리: 직각삼각형에서 빗변의 제곱은 다른 두 변의 제곱의 합과 같다. \(a^2 + b^2 = c^2\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 직각이등변삼각형 분석
잘려나간 직각이등변삼각형의 두 변의 길이를 \(x\)로 놓습니다. 빗변의 길이는 피타고라스 정리에 의해 \(\sqrt{x^2 + x^2} = \sqrt{2}x\) 입니다.
Step 2: 정사각형 변의 길이 활용
정사각형의 한 변의 길이는 정팔각형의 변의 길이, 즉 \(\sqrt{2}x\) 와 잘려나간 삼각형의 두 변 \(x\)의 합과 같습니다. 따라서
$$ x + \sqrt{2}x + x = 15 $$
\((2 + \sqrt{2})x = 15\)
Step 3: 정팔각형 변의 길이 계산
\(x\)의 값을 구합니다.
$$ x = \frac{15}{2 + \sqrt{2}} = \frac{15(2-\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})} = \frac{15(2-\sqrt{2})}{4-2} = \frac{15(2-\sqrt{2})}{2} $$
정팔각형의 한 변의 길이는 \(\sqrt{2}x\)이므로:
$$ \sqrt{2}x = 15 – 2x = 15 – 2 \cdot \frac{15(2-\sqrt{2})}{2} = 15 – 15(2 – \sqrt{2}) = -15 + 15\sqrt{2} $$
Step 4: 둘레 계산
정팔각형의 둘레의 길이는 다음과 같습니다.
$$ 8 \cdot (-15 + 15\sqrt{2}) = -120 + 120\sqrt{2} $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 도형의 성질을 이용하고, 무리수를 포함한 식을 계산하는 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 도형의 성질 활용: 직각이등변삼각형의 성질과 피타고라스 정리를 이용하여 변의 길이를 구합니다.
- 식 표현: 주어진 정보를 이용하여 변의 길이를 식으로 표현합니다.
- 무리수 계산: 무리수를 포함한 식을 정확하게 계산합니다. 분모의 유리화.
이 문제에서는 직각이등변삼각형의 성질을 이용하여 정팔각형의 한 변의 길이를 구하고, 이를 바탕으로 둘레의 길이를 계산했습니다. 도형의 특징을 파악하고, 식을 세우고, 계산하는 과정을 정확하게 수행해야 합니다.
✅ 최종 정답
\(-120 + 120\sqrt{2}\)