📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 주어진 수 목록에서 무리수의 개수를 찾는 문제입니다. 각 수가 유리수인지 무리수인지를 판별하는 것이 핵심입니다.
- 유리수와 무리수 정의 복습:
- 유리수: 분수 \( \frac{p}{q} \) (단, \(p, q\)는 정수, \(q \ne 0\)) 꼴로 나타낼 수 있는 수. 유한소수 또는 순환소수로 나타낼 수 있습니다. 정수, 유한소수, 순환소수, 제곱근 기호가 있지만 계산 결과 유리수가 되는 수(예: \(\sqrt{4}\), \(\sqrt{0.04}\)) 등이 포함됩니다.
- 무리수: 유리수가 아닌 실수. 순환하지 않는 무한소수로 나타납니다. 근호 안의 수가 유리수의 제곱이 아닌 경우의 제곱근(예: \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\)), 원주율 \(\pi\) 등이 대표적입니다.
- 각 수 판별: 목록에 있는 각 수를 하나씩 검토하여 유리수인지 무리수인지를 판단합니다.
- 제곱근 기호가 있는 경우, 근호 안의 수를 계산하거나 변형하여 제곱근을 벗길 수 있는지 확인합니다. (\(\sqrt{k^2} = |k|\))
- 순환소수는 분수로 바꿀 수 있으므로 유리수입니다.
- 유리수와 무리수의 합/차/곱/나눗셈 결과는 일반적으로 무리수입니다 (단, 0을 곱하는 등 예외 있음).
- 개수 세기: 무리수로 판별된 수의 개수를 셉니다.
핵심 개념:
- 유리수: \( \frac{p}{q} \) (p, q는 정수, q≠0). 유한소수 또는 순환소수.
- 무리수: 순환하지 않는 무한소수. 근호 없이 나타낼 수 없는 제곱근 등.
- 제곱근 성질: \( \sqrt{k^2} = |k| \)
- 순환소수 변환: (예) \( 0.\dot{a}\dot{b} = \frac{ab}{99} \)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 1.21 분석
1.21은 유한소수입니다.
유한소수는 분수 \( \frac{121}{100} \) 로 나타낼 수 있으므로 유리수입니다.
Step 2: \( -\sqrt{0.04} \) 분석
먼저 근호 안의 0.04를 계산합니다. \( 0.04 = \frac{4}{100} = \left(\frac{2}{10}\right)^2 = (0.2)^2 \) 입니다.
따라서 \( \sqrt{0.04} = \sqrt{(0.2)^2} = |0.2| = 0.2 \) 입니다.
주어진 수는 \( -\sqrt{0.04} = -0.2 \) 입니다.
-0.2는 유한소수이므로 유리수입니다.
Step 3: \( \sqrt{\frac{1}{8}} \) 분석
근호 안의 수 \(\frac{1}{8}\)이 유리수의 제곱인지 확인합니다.
\( \sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{8}} = \frac{1}{\sqrt{2^3}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} \)
\(\sqrt{2}\)는 무리수이고, 무리수를 0이 아닌 유리수로 나눈 값도 무리수입니다.
따라서 \( \sqrt{\frac{1}{8}} \) 은 무리수입니다.
Step 4: \( 0.1\dot{0} \) 분석
\( 0.1\dot{0} \) 은 순환소수입니다. (해설에 따르면 \( 0.\dot{1}\dot{0} = 0.101010… \) 을 의미하는 것으로 보입니다.)
순환소수는 분수로 나타낼 수 있습니다.
\( 0.\dot{1}\dot{0} = \frac{10}{99} \)
분수로 나타낼 수 있으므로 유리수입니다.
Step 5: \( 2 – \sqrt{3} \) 분석
\(\sqrt{3}\)은 근호 안의 수 3이 제곱수가 아니므로 무리수입니다.
유리수 2에서 무리수 \(\sqrt{3}\)을 뺀 값은 무리수입니다.
Step 6: \( \sqrt{(-1)^2} \) 분석
먼저 근호 안의 제곱을 계산합니다: \( (-1)^2 = 1 \).
따라서 주어진 수는 \( \sqrt{1} \) 입니다.
\( \sqrt{1} = 1 \) 입니다.
1은 정수이므로 유리수입니다.
(또는 \( \sqrt{(-1)^2} = |-1| = 1 \) 로 계산할 수도 있습니다.)
Step 7: 무리수 개수 세기
Step 1부터 Step 6까지 분석한 결과, 무리수로 판별된 수는 다음과 같습니다.
- \( \sqrt{\frac{1}{8}} \)
- \( 2 – \sqrt{3} \)
따라서 무리수는 총 2개입니다.
🧠 마무리 개념 정리
주어진 수가 유리수인지 무리수인지 판별하는 기준은 다음과 같습니다.
- 유리수 확인: 정수, 유한소수, 순환소수 형태인가? 또는 \(\sqrt{A}\) 형태에서 \(A\)가 유리수의 제곱인가? (\( \sqrt{0.04}, \sqrt{\frac{361}{25}} \) 등)
- 무리수 확인: 순환하지 않는 무한소수인가? 또는 \(\sqrt{A}\) 형태에서 \(A\)가 유리수의 제곱이 아닌 양수인가? (\( \sqrt{2}, \sqrt{8}, \sqrt{0.5} \) 등) 또한, 유리수와 무리수의 사칙연산 결과(특수한 경우 제외)는 일반적으로 무리수입니다. (\( 2-\sqrt{3}, \frac{\pi}{2} \) 등)
각 수를 주의 깊게 살펴보고, 제곱근 계산 규칙(\( \sqrt{k^2} = |k| \))과 유리수/무리수의 정의를 정확히 적용하는 것이 중요합니다.
✅ 최종 정답
주어진 수 목록에서 무리수는 \( \sqrt{\frac{1}{8}} \) 과 \( 2 – \sqrt{3} \) 의 2개입니다.
따라서 정답은 2개 입니다.