📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 실수의 분류 체계(정수, 유리수, 무리수, 실수)와 각 수 집합 간의 포함 관계, 그리고 소수 표현(유한소수, 순환소수)에 대한 정확한 이해를 바탕으로 주어진 보기들 중 옳은 설명을 찾는 문제입니다.
- 수의 체계 복습: 자연수, 정수, 유리수, 무리수, 실수의 정의와 이들 사이의 포함 관계를 명확히 합니다. (자연수 ⊂ 정수 ⊂ 유리수 ⊂ 실수, 무리수 ⊂ 실수, 유리수 ∩ 무리수 = ∅)
- 각 보기의 진위 판별: 각각의 보기가 수의 정의와 성질에 맞는지 따져봅니다.
- 실수에서 특정 조건을 만족하는 수가 어떤 집합에 속하는지 확인합니다. (예: 유리수가 아닌 실수, 무리수가 아닌 실수)
- 모든 실수의 소수 표현에 대한 설명이 맞는지 확인합니다.
- 정수와 유리수, 정수와 유리수 사이의 관계에 대한 설명이 맞는지 확인합니다.
- 옳은 설명 선택: 분석 결과를 바탕으로, 내용이 참인 보기를 찾습니다.
핵심 개념:
- 실수: 수직선 위에 나타낼 수 있는 모든 수. 유리수와 무리수로 구성된다.
- 유리수: 분수 \(\frac{p}{q}\) (단, \(p, q\)는 정수, \(q \neq 0\)) 꼴로 나타낼 수 있는 수. (정수, 유한소수, 순환소수 포함)
- 무리수: 유리수가 아닌 실수. 순환하지 않는 무한소수로 나타내어진다. (예: \(\sqrt{2}, \pi\))
- 정수: …, -2, -1, 0, 1, 2, … (양의 정수(=자연수), 0, 음의 정수 포함). 모든 정수는 유리수이다.
- 자연수: 1, 2, 3, … (양의 정수)
- 관계 요약:
- 실수 = 유리수 ∪ 무리수
- 유리수 ∩ 무리수 = ∅ (공집합)
- 정수 ⊂ 유리수
- 자연수 ⊂ 정수
- 소수 표현과 수의 분류:
- 유한소수 → 유리수
- 순환소수 → 유리수
- 순환하지 않는 무한소수 → 무리수
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 보기 ① 분석
보기 ①: “실수 중 유리수가 아닌 수는 정수이다.”
실수는 유리수와 무리수로 이루어져 있습니다. 따라서 실수 중에서 유리수가 아닌 수는 무리수입니다.
정수는 유리수의 일부이므로, 이 설명은 옳지 않습니다.
예: \(\sqrt{2}\)는 실수이고 유리수가 아니지만, 정수가 아닌 무리수입니다.
Step 2: 보기 ② 분석
보기 ②: “모든 실수는 유한소수와 순환소수로 나타낼 수 있다.”
유한소수와 순환소수는 모두 유리수를 나타내는 방식입니다. 실수는 유리수뿐만 아니라 무리수도 포함합니다.
무리수는 순환하지 않는 무한소수로 나타내어지므로, 모든 실수를 유한소수 또는 순환소수로만 나타낼 수는 없습니다.
따라서 이 설명은 옳지 않습니다.
모든 실수는 유한소수 또는 무한소수(순환소수 또는 순환하지 않는 무한소수)로 나타낼 수 있습니다.
Step 3: 보기 ③ 분석
보기 ③: “실수 중 무리수가 아닌 수는 자연수이다.”
실수는 유리수와 무리수로 이루어져 있습니다. 따라서 실수 중에서 무리수가 아닌 수는 유리수입니다.
자연수는 유리수의 일부일 뿐, 모든 유리수가 자연수인 것은 아닙니다.
따라서 이 설명은 옳지 않습니다.
예: \(\frac{1}{2}\) 또는 -3은 실수이고 무리수가 아니지만(즉, 유리수이지만), 자연수가 아닙니다.
Step 4: 보기 ④ 분석
보기 ④: “정수가 아니면서 유리수인 수는 있다.”
유리수는 정수와 정수가 아닌 유리수로 구성됩니다. 정수가 아닌 유리수는 분수나 소수 형태로 나타낼 수 있는 수들 중 정수가 아닌 것들을 의미합니다.
예를 들어, \(\frac{1}{2}\), \(-\frac{3}{5}\), \(0.7\) 등은 모두 유리수이지만 정수는 아닙니다.
따라서 정수가 아니면서 유리수인 수는 존재합니다. 이 설명은 옳습니다.
Step 5: 보기 ⑤ 분석
보기 ⑤: “정수는 유리수가 아니다.”
모든 정수는 분모가 1인 분수 (예: \(3 = \frac{3}{1}\), \(-5 = \frac{-5}{1}\))로 나타낼 수 있으므로 유리수의 정의(\(\frac{p}{q}\) 꼴)를 만족합니다.
따라서 정수는 유리수에 포함됩니다. 즉, 정수는 유리수입니다.
이 설명은 옳지 않습니다.
Step 6: 최종 결론
각 보기를 분석한 결과, 옳은 설명은 보기 ④뿐입니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 수의 체계, 특히 정수, 유리수, 무리수, 실수 간의 관계를 정확히 파악하는 것이 중요합니다.
- 실수는 유리수와 무리수로 나뉩니다. (유리수가 아닌 실수는 무리수, 무리수가 아닌 실수는 유리수)
- 정수는 유리수의 부분집합입니다. 따라서 정수가 아닌 유리수가 존재합니다. (예: 분수, 유한소수, 순환소수 중 정수가 아닌 것)
- 모든 정수는 유리수입니다.
- 실수의 소수 표현: 유리수는 유한소수 또는 순환소수, 무리수는 순환하지 않는 무한소수로 나타납니다. 모든 실수를 유한소수와 순환소수만으로 나타낼 수는 없습니다.
각 수 집합의 정의와 포함 관계를 명확하게 이해하고, 반례를 통해 옳지 않은 설명을 걸러내는 연습이 필요합니다.
✅ 최종 정답
④