📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 모눈종이 위에 그려진 수직선과 두 직각삼각형(ABC, DEF)을 이용하여 특정 조건(\(\overline{AC} = \overline{AP}\), \(\overline{DF} = \overline{DQ}\))을 만족하는 수직선 위의 점 P와 Q의 좌표를 구하는 문제입니다. 점 P와 Q는 각각 점 A와 점 D를 중심으로 하고, 삼각형의 빗변(AC, DF)을 반지름으로 하는 원 또는 호가 수직선과 만나는 점입니다.
- 직각삼각형 변의 길이 파악: 모눈종이의 한 눈금 길이가 1임을 이용하여 각 직각삼각형의 밑변과 높이 길이를 구합니다.
- 빗변 길이 계산 (반지름): 피타고라스 정리를 이용하여 두 직각삼각형의 빗변 \(\overline{AC}\)와 \(\overline{DF}\)의 길이를 계산합니다. 이 길이가 각각 반지름 \(\overline{AP}\)와 \(\overline{DQ}\)의 길이가 됩니다.
- 기준점(중심) 좌표 확인: 점 P를 만드는 호의 중심은 점 A이고, 점 Q를 만드는 호의 중심은 점 D입니다. 수직선에서 점 A와 점 D의 좌표를 읽습니다.
- 점 P의 좌표 계산: 점 A의 좌표에서 반지름 \(\overline{AC}\) 길이만큼 왼쪽으로 이동한 점이 P이므로, P의 좌표는 (A의 좌표) – \(\overline{AC}\) 입니다.
- 점 Q의 좌표 계산: 점 D의 좌표에서 반지름 \(\overline{DF}\) 길이만큼 오른쪽으로 이동한 점이 Q이므로, Q의 좌표는 (D의 좌표) + \(\overline{DF}\) 입니다.
피타고라스 정리:
직각삼각형에서 빗변의 길이를 \(c\), 다른 두 변의 길이를 \(a, b\)라고 할 때,
$$ a^2 + b^2 = c^2 \implies c = \sqrt{a^2 + b^2} $$
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 빗변 \(\overline{AC}\) 길이 계산
직각삼각형 ABC에서 밑변 \(\overline{AB}\)의 길이는 점 A(0)과 점 B(-2) 사이의 거리이므로 2입니다. 높이 \(\overline{BC}\)의 길이는 모눈종이 눈금 1칸이므로 1입니다.
피타고라스 정리를 이용하여 빗변 \(\overline{AC}\)의 길이를 계산합니다.
$$ \overline{AC} = \sqrt{\overline{AB}^2 + \overline{BC}^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} $$
문제 조건에서 \(\overline{AP} = \overline{AC}\)이므로, 반지름 \(\overline{AP}\)의 길이는 \(\sqrt{5}\)입니다.
Step 2: 점 P의 좌표 계산
점 P는 점 A를 중심으로 하고 반지름이 \(\overline{AC} = \sqrt{5}\)인 호가 수직선과 만나는 점입니다. 그림에서 점 A의 좌표는 0입니다.
호는 점 A(0)에서 왼쪽 방향으로 그려져 수직선과 점 P에서 만납니다.
따라서 점 P의 좌표는 기준점 0에서 왼쪽으로 \(\sqrt{5}\)만큼 이동한 위치입니다.
$$ P = (\text{A의 좌표}) – (\text{반지름 } \overline{AC}) = 0 – \sqrt{5} = -\sqrt{5} $$
그러므로 점 P의 좌표는 \(-\sqrt{5}\)입니다.
Step 3: 빗변 \(\overline{DF}\) 길이 계산
직각삼각형 DEF에서 밑변 \(\overline{DE}\)의 길이는 점 D(2)와 점 E(4) 사이의 거리이므로 2입니다. 높이 \(\overline{EF}\)의 길이는 모눈종이 눈금 3칸이므로 3입니다.
피타고라스 정리를 이용하여 빗변 \(\overline{DF}\)의 길이를 계산합니다.
$$ \overline{DF} = \sqrt{\overline{DE}^2 + \overline{EF}^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} $$
문제 조건에서 \(\overline{DQ} = \overline{DF}\)이므로, 반지름 \(\overline{DQ}\)의 길이는 \(\sqrt{13}\)입니다.
Step 4: 점 Q의 좌표 계산
점 Q는 점 D를 중심으로 하고 반지름이 \(\overline{DF} = \sqrt{13}\)인 호가 수직선과 만나는 점입니다. 그림에서 점 D의 좌표는 2입니다.
호는 점 D(2)에서 오른쪽 방향으로 그려져 수직선과 점 Q에서 만납니다.
따라서 점 Q의 좌표는 기준점 2에서 오른쪽으로 \(\sqrt{13}\)만큼 이동한 위치입니다.
$$ Q = (\text{D의 좌표}) + (\text{반지름 } \overline{DF}) = 2 + \sqrt{13} $$
그러므로 점 Q의 좌표는 \(2 + \sqrt{13}\)입니다.
Step 5: 최종 좌표 정리
계산 결과, 두 점 P, Q의 좌표는 각각 다음과 같습니다.
$$ P(-\sqrt{5}), \quad Q(2 + \sqrt{13}) $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 수직선 위의 좌표와 기하학적 도형(직각삼각형) 및 작도(컴퍼스)를 결합한 문제입니다. 푸는 과정은 다음과 같은 핵심 개념을 이용합니다.
- 좌표와 거리: 수직선 또는 좌표평면 위 두 점 사이의 거리를 계산합니다. (모눈종이 눈금 활용)
- 피타고라스 정리: 직각삼각형의 두 변 길이를 알 때 나머지 한 변(특히 빗변)의 길이를 구하는 데 사용됩니다. (\(c = \sqrt{a^2 + b^2}\))
- 원의 정의 (반지름): 원 위의 모든 점은 중심으로부터 일정한 거리(반지름)만큼 떨어져 있습니다. 문제에서는 삼각형의 빗변이 반지름 역할을 합니다.
- 수직선 위 이동과 좌표: 수직선 위의 한 점(\(x_0\))에서 특정 거리(\(d\))만큼 오른쪽으로 이동한 점의 좌표는 \(x_0 + d\), 왼쪽으로 이동한 점의 좌표는 \(x_0 – d\)입니다.
그림에서 삼각형의 꼭짓점 좌표, 호의 중심점 좌표, 호의 방향을 정확히 읽고 피타고라스 정리를 올바르게 적용하는 것이 중요합니다.
✅ 최종 정답
P의 좌표: \(-\sqrt{5}\), Q의 좌표: \(2 + \sqrt{13}\)