📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 수직선과 실수 체계(정수, 유리수, 무리수, 실수)의 성질에 대한 이해를 묻고 있습니다. 각 보기가 제시하는 주장이 수의 성질(특히 조밀성과 완비성, 정수의 이산성)에 맞는지 판별하여 옳지 않은 설명을 모두 찾는 것이 목표입니다.
- 수의 분류 및 성질 확인: 정수, 유리수, 무리수, 실수의 정의와 특징을 명확히 합니다.
- 수직선과 실수의 대응 관계 이해: 모든 실수는 수직선 위의 한 점에 유일하게 대응하고, 수직선 위의 모든 점은 한 실수에 유일하게 대응한다는 실수의 완비성을 이해합니다.
- 조밀성(Density) 이해: 서로 다른 두 실수 사이에는 항상 무수히 많은 유리수와 무수히 많은 무리수가 존재한다는 성질을 이해합니다.
- 정수의 이산성(Discreteness) 이해: 정수와 정수 사이에는 다른 정수가 없거나 유한 개의 정수만 존재한다는 성질을 이해합니다.
- 보기 검증: 각 보기를 위의 개념들에 비추어 참/거짓을 판단합니다.
- 옳지 않은 설명 선택: 문제의 요구사항에 따라 거짓인 보기(옳지 않은 설명)를 모두 선택합니다.
핵심 개념:
- 정수: …, -2, -1, 0, 1, 2, … 와 같이 1 간격으로 떨어진 수 (이산성).
- 유리수와 무리수의 조밀성: 서로 다른 두 실수 사이에는 무수히 많은 유리수와 무수히 많은 무리수가 존재한다.
- 실수의 완비성: 수직선은 실수에 대응하는 점들로 완전히 메워져 있으며, 빈틈이 없다. 즉, 모든 실수는 수직선 위의 점에 대응하고, 모든 점은 실수에 대응한다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 보기 ① 분석
보기 ①: “3과 4 사이에는 무수히 많은 정수가 있다.”
정수는 …, 1, 2, 3, 4, 5, … 와 같이 1의 간격으로 떨어져 있는 수입니다. 3 다음의 정수는 4이므로, 3과 4 사이에는 정수가 존재하지 않습니다.
‘무수히 많은 정수’가 있다는 주장은 명백히 틀렸습니다.
따라서 보기 ①은 옳지 않은 설명입니다.
Step 2: 보기 ② 분석
보기 ②: “\(-\sqrt{6}\)와 \(-\sqrt{5}\) 사이에는 무수히 많은 유리수가 있다.”
\(-\sqrt{6}\)과 \(-\sqrt{5}\)는 서로 다른 두 실수입니다. (\(-\sqrt{6} \approx -2.449\), \(-\sqrt{5} \approx -2.236\))
유리수의 조밀성에 의해, 서로 다른 두 실수 사이에는 항상 무수히 많은 유리수가 존재합니다.
따라서 보기 ②는 옳은 설명입니다.
Step 3: 보기 ③ 분석
보기 ③: “서로 다른 두 정수 사이에는 무수히 많은 정수가 있다.”
서로 다른 두 정수를 예로 들어 봅시다. 예를 들어 0과 1 사이에는 정수가 없습니다. 0과 5 사이에는 1, 2, 3, 4라는 4개의 정수(유한 개)가 있습니다.
어떤 경우에도 서로 다른 두 정수 사이에 무수히 많은 정수가 존재하지는 않습니다. 정수는 이산적(discrete)이기 때문입니다.
따라서 보기 ③은 옳지 않은 설명입니다.
Step 4: 보기 ④ 분석
보기 ④: “모든 무리수는 각각 수직선 위의 한 점에 대응한다.”
무리수는 실수의 일부입니다. 실수의 완비성에 따라 모든 실수(유리수와 무리수 포함)는 수직선 위의 한 점에 유일하게 대응합니다.
따라서 모든 무리수도 수직선 위의 한 점에 대응합니다.
보기 ④는 옳은 설명입니다.
Step 5: 보기 ⑤ 분석
보기 ⑤: “수직선은 실수에 대응하는 점으로 완전히 메울 수 있다.”
이는 실수의 완비성을 설명하는 문장입니다. 수직선 위의 모든 점은 어떤 실수에 대응하고, 모든 실수는 수직선 위의 어떤 점에 대응하며, 수직선에는 빈틈이 없습니다.
보기 ⑤는 옳은 설명입니다.
Step 6: 옳지 않은 보기 종합 및 정답 확인
각 보기를 분석한 결과는 다음과 같습니다.
- ① 옳지 않음
- ② 옳음
- ③ 옳지 않음
- ④ 옳음
- ⑤ 옳음
문제에서 옳지 않은 것을 모두 고르라고 했으므로, 옳지 않은 설명은 ①과 ③입니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 실수와 수직선의 중요한 성질들을 구별하는 능력을 평가합니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 정수의 이산성: 정수와 정수 사이에는 정수가 없거나 유한 개만 존재합니다. ‘무수히 많다’는 표현은 정수 사이의 관계에 적용될 수 없습니다 (보기 ①, ③).
- 유리수/무리수의 조밀성: 서로 다른 두 실수 사이에는 항상 무수히 많은 유리수와 무수히 많은 무리수가 존재합니다 (보기 ②).
- 실수의 완비성 (Continuity/Completeness): 수직선은 실수로 빈틈없이 채워져 있으며, 모든 실수(유리수, 무리수 포함)는 수직선 위의 점과 일대일로 대응합니다 (보기 ④, ⑤).
특히 ‘무수히 많다’는 개념이 유리수/무리수에는 적용되지만, 정수에는 적용되지 않는다는 점을 명확히 구분해야 합니다.
✅ 최종 정답
①, ③