📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 주어진 범위 \(-1 \le x < \sqrt{11}\)를 만족하는 \(x\)의 값이 무수히 많은 경우를 보기에서 모두 찾는 문제입니다. 이를 위해 각 보기에서 제시된 \(x\)의 종류(자연수, 실수, 무리수, 정수, 유리수)에 따라 해당 범위 내에 속하는 수가 유한개인지 무한개인지 판별해야 합니다.
- 범위 파악: 부등식 \(-1 \le x < \sqrt{11}\)의 범위를 이해합니다. 특히 \(\sqrt{11}\)의 대략적인 값을 파악하는 것이 중요합니다. (\(3^2=9, 4^2=16\)이므로 \(3 < \sqrt{11} < 4\))
- 각 수 집합의 특징 이해:
- 자연수, 정수: 특정 범위 내에서는 유한개의 값만 가집니다 (이산성).
- 실수, 무리수, 유리수: 특정 범위(구간) 내에서는 무수히 많은 값을 가집니다 (조밀성).
- 보기별 판별: 각 보기의 조건(수의 종류)과 주어진 범위를 결합하여 \(x\)의 개수가 유한한지 무한한지 판단합니다.
- 개수 세기: \(x\)의 값이 무수히 많은 보기의 개수를 셉니다.
핵심 개념:
- \(\sqrt{11}\)의 범위: \(3^2 = 9\)이고 \(4^2 = 16\)이므로, \(3 < \sqrt{11} < 4\) 입니다. 따라서 주어진 범위는 대략 \(-1 \le x < 3.\text{xxx}\) 입니다.
- 수의 조밀성과 이산성:
- 조밀성(Density): 두 개의 서로 다른 실수 사이에는 항상 무수히 많은 실수, 유리수, 무리수가 존재합니다.
- 이산성(Discreteness): 정수나 자연수는 수직선 상에서 서로 떨어져 존재하며, 주어진 범위 내에서는 유한 개만 존재합니다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: \(\sqrt{11}\)의 범위 추정
\(3^2 = 9\)이고 \(4^2 = 16\)이므로, \(9 < 11 < 16\) 입니다.
각 변에 양의 제곱근을 취하면 \(\sqrt{9} < \sqrt{11} < \sqrt{16}\), 즉 \(3 < \sqrt{11} < 4\) 입니다.
따라서 문제에서 주어진 범위는 \(-1 \le x < (\text{3과 4 사이의 어떤 값})\) 입니다.
보기 분석
Step 2: (ㄱ) \(x\)는 \(-1 \le x < \sqrt{11}\)인 자연수
자연수는 1, 2, 3, … 입니다. 주어진 범위 \(-1 \le x < \sqrt{11}\) (\(3 < \sqrt{11} < 4\))를 만족하는 자연수는 \(x=1, 2, 3\) 입니다.
총 3개로, 개수가 유한합니다.
Step 3: (ㄴ) \(x\)는 \(-1 \le x < \sqrt{11}\)인 실수
실수는 수직선을 빈틈없이 메웁니다. \(-1\)과 \(\sqrt{11}\)은 서로 다른 실수이므로, 이 두 수 사이에는 무수히 많은 실수가 존재합니다.
따라서 \(x\)의 개수는 무한합니다.
Step 4: (ㄷ) \(x\)는 \(-1 \le x < \sqrt{11}\)인 무리수
무리수는 실수 범위 내에서 조밀하게 존재합니다. 서로 다른 두 실수(\(-1\)과 \(\sqrt{11}\)) 사이에는 무수히 많은 무리수가 존재합니다. (예: \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{6}, \sqrt{7}, \sqrt{8}, \sqrt{10}, \pi\)… 등이 이 범위 안에 있습니다.)
따라서 \(x\)의 개수는 무한합니다.
Step 5: (ㄹ) \(x\)는 \(-1 \le x < \sqrt{11}\)인 정수
정수는 …, -2, -1, 0, 1, 2, … 입니다. 주어진 범위 \(-1 \le x < \sqrt{11}\) (\(3 < \sqrt{11} < 4\))를 만족하는 정수는 \(x = -1, 0, 1, 2, 3\) 입니다.
총 5개로, 개수가 유한합니다.
Step 6: (ㅁ) \(x\)는 \(-1 \le x < \sqrt{11}\)인 유리수
유리수는 실수 범위 내에서 조밀하게 존재합니다. 서로 다른 두 실수(\(-1\)과 \(\sqrt{11}\)) 사이에는 무수히 많은 유리수가 존재합니다. (예: \(0, 1, 2, 3, \frac{1}{2}, -\frac{1}{3}, 1.5, 3.1\) 등)
따라서 \(x\)의 개수는 무한합니다.
Step 7: 무수히 많은 경우의 개수 세기
위 분석 결과, \(x\)의 값이 무수히 많은 경우는 다음과 같습니다.
- (ㄴ) 실수
- (ㄷ) 무리수
- (ㅁ) 유리수
따라서 \(x\)의 값이 무수히 많은 것은 총 3개입니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 특정 범위 내에서 각 수 집합(자연수, 정수, 유리수, 무리수, 실수)에 속하는 원소의 개수가 유한한지 무한한지를 구별하는 능력을 요구합니다. 핵심은 다음과 같습니다.
- 이산적인 수 집합 (유한 개): 자연수와 정수는 수직선 상에서 서로 떨어져 존재하므로, 유한한 길이의 범위 내에서는 반드시 유한 개의 원소만 포함합니다.
- 조밀한 수 집합 (무한 개): 유리수, 무리수, 실수는 수직선 상에서 조밀하게 존재합니다. 따라서 아무리 작은 범위(길이가 0보다 큰 구간)라도 그 안에는 항상 무수히 많은 유리수, 무리수, 실수가 존재합니다.
주어진 부등식의 범위를 정확히 파악하고, 각 수 집합의 특성(이산성 또는 조밀성)을 적용하여 개수를 판단해야 합니다.
✅ 최종 정답
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