📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 주어진 무리수 \(3 – \sqrt{2}\)가 수직선 위의 어느 구간(A, B, C, D, E)에 속하는지를 찾는 문제입니다. 이를 해결하기 위해서는 \(\sqrt{2}\)의 대략적인 값을 이용하여 \(3 – \sqrt{2}\)의 값의 범위를 추정한 후, 그 범위가 수직선 상의 어느 구간에 해당하는지 판단해야 합니다.
- \(\sqrt{2}\)의 범위 추정: \(\sqrt{2}\)가 어떤 두 연속된 정수 사이에 있는지 파악합니다. (\(1^2=1, 2^2=4\) 이용)
- \(-\sqrt{2}\)의 범위 추정: \(\sqrt{2}\)의 범위로부터 부등식의 성질을 이용하여 \(-\sqrt{2}\)의 범위를 구합니다.
- \(3 – \sqrt{2}\)의 범위 추정: \(-\sqrt{2}\)의 범위에 3을 더하여 \(3 – \sqrt{2}\)의 값의 범위를 구합니다.
- 구간 판별: 계산된 \(3 – \sqrt{2}\)의 범위가 수직선 위의 구간 A(0~1), B(1~2), C(2~3), D(3~4), E(4~5) 중 어디에 속하는지 확인합니다.
부등식의 성질:
- \(a < b\) 일 때, \(a+c < b+c\)
- \(a < b\) 이고 \(c > 0\) 일 때, \(ac < bc\)
- \(a < b\) 이고 \(c < 0\) 일 때, \(ac > bc\) (부등호 방향 바뀜)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: \(\sqrt{2}\)의 범위 추정
제곱해서 2가 되는 수를 찾습니다. \(1^2 = 1\)이고 \(2^2 = 4\)이므로, \(1 < 2 < 4\) 입니다.
각 변에 양의 제곱근을 취하면 \(\sqrt{1} < \sqrt{2} < \sqrt{4}\) 입니다.
따라서 \(1 < \sqrt{2} < 2\) 입니다.
Step 2: \(-\sqrt{2}\)의 범위 추정
Step 1에서 구한 부등식 \(1 < \sqrt{2} < 2\)의 각 변에 -1을 곱합니다.
부등식에 음수를 곱하면 부등호의 방향이 바뀌므로,
$$ (-1) \times 1 > (-1) \times \sqrt{2} > (-1) \times 2 $$
정리하면 \(-2 < -\sqrt{2} < -1\) 입니다.
Step 3: \(3 – \sqrt{2}\)의 범위 추정
Step 2에서 구한 부등식 \(-2 < -\sqrt{2} < -1\)의 각 변에 3을 더합니다.
$$ 3 + (-2) < 3 + (-\sqrt{2}) < 3 + (-1) $$
정리하면 \(1 < 3 - \sqrt{2} < 2\) 입니다.
즉, \(3 – \sqrt{2}\)는 1보다 크고 2보다 작은 값을 가집니다.
Step 4: 해당 구간 찾기
Step 3에서 \(3 – \sqrt{2}\)의 값이 1과 2 사이에 있음을 확인했습니다.
수직선에서 1과 2 사이의 구간은 구간 B입니다.
따라서 \(3 – \sqrt{2}\)에 대응하는 점이 있는 구간은 B입니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 무리수의 값을 추정하여 수직선 상의 위치를 파악하는 능력을 평가합니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 제곱근 값 추정: 제곱수를 이용하여 주어진 제곱근(\(\sqrt{n}\))이 어떤 두 연속된 정수 사이에 있는지 범위를 파악합니다. (\(a^2 < n < (a+1)^2 \Rightarrow a < \sqrt{n} < a+1\))
- 부등식의 성질 활용: 추정한 제곱근의 범위를 이용하여, 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 등 연산을 거친 무리수의 값의 범위를 부등식의 성질을 이용해 계산합니다. 특히 음수를 곱하거나 나눌 때 부등호 방향이 바뀌는 것에 유의해야 합니다.
- 수직선과 구간: 계산된 값의 범위가 수직선 상의 어느 정수와 정수 사이 구간에 해당하는지 확인합니다.
무리수의 정확한 값을 알 필요는 없으며, 어떤 정수 사이에 있는지만 파악하면 문제를 해결할 수 있습니다.
✅ 최종 정답
②